Ортогональные многочлены

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

${\displaystyle p_{0}(x),\ p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ \ldots }$,

где каждый многочлен ${\displaystyle p_{n}(x)}$ имеет степень ${\displaystyle n}$, а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве ${\displaystyle L^{2}}$.

Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах П. Л. Чебышёва по непрерывным дробям и позднее развито А. А. Марковым и Т. И. Стилтьесом и нашло различные применения во многих областях математики и физики.

Пусть ${\displaystyle (a,b)}$ — промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть

${\displaystyle w:~(a,b)\to \mathbb {R} }$

заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка ${\displaystyle (a,b)}$ функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция ${\displaystyle w(x)}$ связана с пространством функций ${\displaystyle L_{2}}$, для которых сходится интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[f(x)\right]^{2}w(x)\;dx<\infty }$.

В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\;dx}$ для вещественных функций,

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}w(x)\;dx}$ для комплекснозначных функций.

Если скалярное произведение двух функций равно нулю ${\displaystyle \langle f,g\rangle =0}$, то такие функции называются ортогональными с весом ${\displaystyle w(x)}$. Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественные функции.

Систему многочленов

${\displaystyle p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x),\cdots }$

называют ортогональной, если

1. ${\displaystyle p_{n}(x)}$ — многочлен степени ${\displaystyle n}$,
2. ${\displaystyle \langle p_{m},p_{n}\rangle =\delta _{mn}h_{n}}$, где ${\displaystyle \delta _{mn}}$ — символ Кронекера, ${\displaystyle h_{n}}$ — нормировочный множитель.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму ${\displaystyle ||p_{n}||=h_{n}=1}$. Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения ${\displaystyle h_{n}}$ отличаются от единицы и указаны в таблице внизу.

Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы:

${\displaystyle {p_{n+1}(x)\ =\ (A_{n}x+B_{n})\ p_{n}(x)\ -\ C_{n}\ p_{n-1}(x)},}$

где

${\displaystyle A_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\quad B_{n}=A_{n}\left(r_{n+1}-r_{n}\right),\quad C_{n}={\frac {A_{n}h_{n}}{A_{n-1}h_{n-1}}},}$

${\displaystyle r_{n}={\frac {k'_{n}}{k_{n}}},\quad h_{n}=\langle p_{n}(x),p_{n}(x)\rangle }$,

${\displaystyle k_{n}}$ и ${\displaystyle k'_{n}}$ — коэффициенты при членах ${\displaystyle x^{n}}$ и ${\displaystyle x^{n-1}}$ в полиноме ${\displaystyle p_{n}(x).}$

Эта формула остаётся справедливой и для ${\displaystyle n=0}$, если положить ${\displaystyle p_{-1}(x)=0}$.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {p_{k}(x)p_{k}(y)}{h_{k}}}={\frac {k_{n}}{k_{n+1}h_{n}}}{\frac {p_{n+1}(x)p_{n}(y)-p_{n+1}(y)p_{n}(x)}{x-y}}}$,

или при ${\displaystyle y\to x}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}h_{k}^{-1}\left[p_{k}(x)\right]^{2}={\frac {k_{n}}{k_{n+1}h_{n}}}\left[p'_{n+1}(x)p_{n}(x)-p_{n+1}(x)p'_{n}(x)\right]}$

Все корни многочлена ${\displaystyle p_{n}(x)}$ являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности ${\displaystyle \left[a;b\right]}$.

Между двумя последовательными корнями многочлена ${\displaystyle p_{n}(x)}$ расположен в точности один корень многочлена ${\displaystyle p_{n+1}(x)}$ и, по крайней мере, один корень многочлена ${\displaystyle p_{m}(x)}$, при ${\displaystyle m>n}$.

Каждый многочлен ${\displaystyle p_{n}(x)}$ в ортогональной последовательности имеет минимальную норму среди всех многочленов ${\displaystyle P_{n}(x)}$ такой же степени и с таким же первым коэффициентом.

Система ортогональных многочленов ${\displaystyle p_{i}(x)}$ является полной. Это значит, что любой многочлен ${\displaystyle S(x)}$ степени n может быть представлен в виде ряда

${\displaystyle S(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha }_{i}\ p_{i}(x)}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ коэффициенты разложения.

Очень важный класс ортогональных многочленов возникает при решении дифференциального уравнения следующего вида:

где ${\displaystyle Q(x)}$ и ${\displaystyle L(x)}$ заданные многочлены второго и первого порядка, соответственно, а ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle \lambda }$ неизвестные функция и коэффициент. Это уравнение называется задачей Штурма — Лиувилля и может быть переписано в его более стандартной форме

где ${\displaystyle R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx},\,W(x)={\frac {R(x)}{Q(x)}}.}$ Решение этого уравнения приводит к множеству собственных чисел ${\displaystyle {\lambda }_{0},{\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\dots }$ и множеству собственных функций ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2},\dots }$, обладающих следующими свойствами:

• ${\displaystyle P_{n}(x)}$ — полином степени n, зависящий от ${\displaystyle {\lambda }_{n}}$

• последовательность ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2},\dots }$ ортогональна с весовой функцией ${\displaystyle W(x)}$

• Промежуток ортогональности зависит от корней многочлена Q, причём корень L находится внутри промежутка ортогональности

• Числа ${\displaystyle \lambda _{n}}$ и полиномы ${\displaystyle P_{n}(x)}$ могут быть получены из формул

${\displaystyle {\lambda }_{n}=-n\left({\frac {n-1}{2}}Q''+L'\right)}$

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{e_{n}\,W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right)}$ формула Родрига.

Дифференциальное уравнение имеет нетривиальные решения только при выполнения одного из следующих условий. Во всех этих случаях при изменении масштаба или/и сдвига области определения и выбора способа нормировки многочлены решения сводятся к ограниченному набору классов, которые называются классическими ортогональными полиномами

1. Якобиподобные многочлены

Q — многочлен второго порядка, L — первого. Корни Q различны и действительны, корень L лежит строго между корнями Q. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак. При помощи линейного преобразования уравнение сводится к ${\displaystyle Q(x)=1-x^{2}}$ с интервалом ортогональности ${\displaystyle [-1,1]}$. Решениями являются многочлены Якоби ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$ или их частные случаи многочлены Гегенбауэра ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)}$, Лежандра ${\displaystyle P_{n}(x)}$ или Чебышёва обоих типов ${\displaystyle T_{n}(x)}$, ${\displaystyle U_{n}(x)}$.

2. Лагерроподобные многочлены

Q и L — многочлены первого порядка. Корни Q и L различны. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак, если корень L меньше корня Q и наоборот. Сводится к ${\displaystyle Q(x)=x}$ и интервалу ортогональности ${\displaystyle [0,\infty )}$. Решениями являются обобщённые многочлены Лагерра ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ или их частному случаю многочленам Лагерра ${\displaystyle L_{n}(x)}$.

3. Эрмитоподобные многочлены

Q — ненулевая константа, L — многочлен первого порядка. Первые коэффициенты Q и L имеют противоположный знак. Сводится к ${\displaystyle Q(x)=1}$ и интервалу ортогональности ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$. Решениями являются многочлены Эрмита ${\displaystyle H_{n}(x)}$.

Обозначим ${\displaystyle P_{n}^{m}(x)}$ как m-ую производную полинома ${\displaystyle P_{n}(x)}$. Производная ${\displaystyle P_{n}^{m}(x)}$ является полиномом степени ${\displaystyle n-m}$ и обладает следующими свойствами:

• ортогональность

Для заданного m последовательность полиномов ${\displaystyle P_{m}^{m},P_{m+1}^{m},P_{m+2}^{m},\dots }$ ортогональна с весовой функцией ${\displaystyle W(x)[Q(x)]^{m}}$

• формула Родрига

${\displaystyle P_{n}^{m}={\frac {1}{e_{n}W(x)[Q(x)]^{m}}}\ {\frac {d^{n-m}}{dx^{n-m}}}\left(W(x)[Q(x)]^{m}\right)}$

• дифференциальное уравнение

${\displaystyle {Q(x)}\,y''+(m\,Q'(x)+L(x))\,y'+[{\lambda }_{n}-{\lambda }_{m}]\ y=0}$, где ${\displaystyle y(x)=P_{n}^{m}(x)}$

• дифференциальное уравнение второго вида

${\displaystyle (R(x)[Q(x)]^{m}\ y')'+[\lambda _{n}-\lambda _{m}]W(x)[Q(x)]^{m}\ y=0}$, где ${\displaystyle y(x)=P_{n}^{m}(x)}$

• рекуррентные соотношения (для удобства у коэффициентов a, b и c опущены индексы n и m)

${\displaystyle P_{n}^{m}(x)=aP_{n+1}^{m+1}(x)+bP_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),}$

${\displaystyle P_{n}^{m}(x)=(ax+b)P_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),}$

${\displaystyle Q(x)P_{n}^{m+1}(x)=(ax+b)P_{n}^{m}(x)+cP_{n-1}^{m}(x).}$

Классические ортогональные полиномы, которые происходят из дифференциального уравнения, описанного выше, имеют много важных приложений в таких областях как: математическая физика, численные методы, и многие другие. Ниже приводятся их определения и основные свойства.

Многочлены Якоби обозначаются ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$, где параметры ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ вещественные числа больше −1. Если ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ не равны, полиномы перестают быть симметричными относительно точки ${\displaystyle x=0}$.

• Весовая функция ${\displaystyle W(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$ на промежутке ортогональности ${\displaystyle [-1,1]}$

• Дифференциальные уравнения

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''+(\beta -\alpha -[\alpha +\beta +2]\,x)\,y'+{\lambda }\,y=0}$

• Собственные числа

${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1+\alpha +\beta )}$

• Рекуррентная формула

${\displaystyle P_{n+1}(x)=(A_{n}\,x+B_{n})\,P_{n}(x)-C_{n}\,P_{n-1}(x),}$

где

${\displaystyle A_{n}={\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha +\beta )}},}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1)(2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}},}$

${\displaystyle C_{n}={\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}}}$

• Нормировка

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={\frac {\Gamma (n+1+\alpha )}{n!\,\Gamma (1+\alpha )}},\qquad h_{n}={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\,\Gamma (n\!+\!\alpha \!+\!1)\,\Gamma (n\!+\!\beta \!+\!1)}{n!(2n\!+\!\alpha \!+\!\beta \!+\!1)\Gamma (n\!+\!\alpha \!+\!\beta \!+\!1)}},\qquad k_{n}={\frac {\Gamma (2n+1+\alpha +\beta )}{n!\,2^{n}\,\Gamma (n+1+\alpha +\beta )}},\qquad e_{n}=(-2)^{n}\,n!}$

Многочлены Гегенбауэра обозначаются ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)}$, где параметр ${\displaystyle \alpha }$ вещественное число больше −1/2. Он выводится из многочленов Якоби для равных параметров ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$

Остальные Якобиподобные многочлены являются частным случаем полиномов Гегенбауэра с выбранным параметром ${\displaystyle \alpha }$ и соответствующей нормализацией.

• Весовая функция ${\displaystyle W(x)=(1-x^{2})^{\alpha -1/2}}$ на промежутке ортогональности ${\displaystyle [-1,1]}$

• Дифференциальные уравнения

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-(2\alpha +1)\,x\,\,y'+{\lambda }\,y=0}$

• Собственные числа

${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+2\alpha )}$

• Рекуррентная формула

${\displaystyle (n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha )}(x)=2(n+\alpha )x\,C_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)\,C_{n-1}^{(\alpha )}(x)}$

• Нормировка

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )}}}$ если ${\displaystyle \alpha \neq 0,\qquad }$ ${\displaystyle h_{n}={\frac {\pi \,2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )(\Gamma (\alpha ))^{2}}},\qquad k_{n}={\frac {\Gamma (2n+2\alpha )\Gamma ({\frac {1}{2}}+\alpha )}{n!\,2^{n}\,\Gamma (2\alpha )\Gamma (n+{\frac {1}{2}}+\alpha )}},\qquad e_{n}={\frac {(-2)^{n}\,n!\,\Gamma (2\alpha )\,\Gamma (n+{\frac {1}{2}}+\alpha )}{\Gamma (n+2\alpha )\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}}$

• Прочие свойства

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha +1)}(x)={\frac {1}{2\alpha }}\!\ {\frac {d}{dx}}C_{n+1}^{(\alpha )}(x)}$

Многочлены Лежандра обозначаются ${\displaystyle P_{n}(x)}$ и являются частным случаем многочленов Гегенбауэра с параметром ${\displaystyle \alpha =1/2}$

• Весовая функция ${\displaystyle W(x)=1}$ на промежутке ортогональности ${\displaystyle [-1,1]}$

• Дифференциальные уравнения

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2x\,y'+{\lambda }\,y=0,\qquad ([1-x^{2}]\,y')'+\lambda \,y=0}$

• Собственные числа

${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)}$

• Рекуррентная формула

${\displaystyle (n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)}$

• Нормировка

${\displaystyle P_{n}(1)=1,\qquad h_{n}={\frac {2}{2n+1}},\qquad k_{n}={\frac {(2n)!}{2^{n}\,(n!)^{2}}},\qquad e_{n}=(-2)^{n}\,n!}$

• Первые несколько многочленов

${\displaystyle P_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x;}$

${\displaystyle P_{2}(x)=(3x^{2}-1)/2;}$

${\displaystyle P_{3}(x)=(5x^{3}-3x)/2;}$

${\displaystyle P_{4}(x)=(35x^{4}-30x^{2}+3)/8;}$

Многочлен Чебышёва ${\displaystyle T_{n}(x)}$ часто используется для аппроксимации функций как многочлен степени ${\displaystyle n}$, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале ${\displaystyle [-1,1]}$

Является частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра ${\displaystyle \alpha \to 0}$

• Весовая функция ${\displaystyle W(x)=(1-x^{2})^{-1/2}}$ на промежутке ортогональности ${\displaystyle [-1,1]}$

• Дифференциальное уравнение

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+{\lambda }\,y=0}$

• Собственные числа

${\displaystyle \lambda _{n}=n^{2}}$

• Рекуррентная формула

${\displaystyle T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)}$

• Нормировка

${\displaystyle T_{n}(1)=1,\qquad h_{n}=\left\{{\begin{matrix}\pi &:~n=0\\\pi /2&:~n\neq 0\end{matrix}}\right.,\qquad k_{n}=2^{n-1},\qquad e_{n}=(-2)^{n}\,{\frac {\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}}$

Многочлен Чебышёва второго рода ${\displaystyle U_{n}(x)}$ характеризуются как многочлен, интеграл от абсолютной величины которого на интервале ${\displaystyle [-1,+1]}$ меньше всего отклоняется от нуля

• Весовая функция ${\displaystyle W(x)=(1-x^{2})^{1/2}}$ на промежутке ортогональности ${\displaystyle [-1,1]}$
• Дифференциальное уравнение

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+{\lambda }\,y=0}$

• Нормировка

${\displaystyle U_{n}(1)=n+1,\qquad h_{n}=\pi /2,\qquad k_{n}=2^{n},\qquad e_{n}=2(-2)^{n}\,{\frac {\Gamma (n+3/2)}{(n+1)\,{\sqrt {\pi }}}}}$

Ассоциированные или обобщённые многочлены Лагерра обозначаются ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$, где параметр ${\displaystyle \alpha }$ вещественное число больше -1. Для ${\displaystyle \alpha =0}$ обобщённые многочлены сводятся к обычным многочленам Лагерра

• Весовая функция ${\displaystyle W(x)=x^{\alpha }e^{-x}}$ на промежутке ортогональности ${\displaystyle [0,\infty )}$

• Дифференциальные уравнения

${\displaystyle x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (x^{\alpha +1}\,e^{-x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0}$

• Собственные числа

${\displaystyle \lambda _{n}=n}$

• Рекуррентная формула

${\displaystyle (n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x)}$

• Нормировка

${\displaystyle k_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n!}},\qquad h_{n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}},\qquad e_{n}=n!}$

• Прочие свойства

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=-{\frac {d}{dx}}L_{n+1}^{(\alpha )}(x)}$

• Весовая функция ${\displaystyle W(x)=e^{-x^{2}}}$ на промежутке ортогональности ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$

• Дифференциальные уравнения

${\displaystyle y''-2xy'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2}}\,\lambda \,y=0}$

• Собственные числа

${\displaystyle \lambda _{n}=2n}$

• Рекуррентная формула

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)}$

• Нормировка

${\displaystyle k_{n}=2^{n},\qquad h_{n}=2^{n}\,n!\,{\sqrt {\pi }},\qquad e_{n}=(-1)^{n}}$

• Первые несколько многочленов

${\displaystyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2}$

${\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x}$

${\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}$

Система ортогональных многочленов ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}}$ может быть построена путём применения процесса Грама-Шмидта к системе многочленов ${\displaystyle g_{k}(x)=x^{k}}$ следующим образом. Определим проектор как

${\displaystyle \mathrm {proj} _{f}\,(g)={\langle f,g\rangle \over \langle f,f\rangle }f={\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\;dx \over \int _{x_{1}}^{x_{2}}(f(x))^{2}W(x)\;dx}f(x)}$,

тогда ортогональные полиномы последовательно вычисляются по схеме

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&=g_{1},\\f_{2}&=g_{2}-\mathrm {proj} _{f_{1}}\,(g_{2}),\\f_{3}&=g_{3}-\mathrm {proj} _{f_{1}}\,(g_{3})-\mathrm {proj} _{f_{2}}\,(g_{3}),\\&{}\ \ \vdots \\f_{k}&=g_{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\mathrm {proj} _{f_{j}}\,(g_{k}).\end{aligned}}}$

Данный алгоритм относится к численно неустойчивым алгоритмам. При вычислении коэффициентов разложения ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются с увеличением номера полинома.

Весовая функция ${\displaystyle w(x)}$, заданная на промежутке ${\displaystyle \left[a;b\right]}$, однозначно определяет систему ортогональных многочленов ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}$ с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{a}^{b}{w(x)x^{n}dx}}$

моменты весовой функции, тогда многочлен ${\displaystyle p_{n}(x)}$ может быть представлен в виде:

${\displaystyle p_{n}(x)=\det \left[{\begin{matrix}\mu _{0}&\mu _{1}&\mu _{2}&\cdots &\mu _{n}\\\mu _{1}&\mu _{2}&\mu _{3}&\cdots &\mu _{n+1}\\\mu _{2}&\mu _{3}&\mu _{4}&\cdots &\mu _{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\\mu _{n-1}&\mu _{n}&\mu _{n+1}&\cdots &\mu _{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{matrix}}\right]}$.

Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум ${\displaystyle O(n^{3})}$ операций.

Если выбрать нормировку многочлена ${\displaystyle p_{n}(x)}$ таким образом, что коэффициент ${\displaystyle k_{n}}$ при главном члене равен единице, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:

${\displaystyle {p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha _{n})\ p_{n}(x)\ -\ \gamma _{n}\ p_{n-1}(x)},}$

где

${\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\langle xp_{n},p_{n}\rangle }{\langle p_{n},p_{n}\rangle }},\qquad \gamma _{n}={\frac {\langle xp_{n},p_{n-1}\rangle }{\langle p_{n-1},p_{n-1}\rangle }}}$.