Основная лемма вариационного исчисления

Основная лемма вариационного исчисления (или лемма Лагранжа) даёт интегральное условие на функцию позволяющее заключить, что функция равна нулю. Известно несколько версий леммы; базовую версию легко сформулировать и доказать.

Базовая версия

Если непрерывная функция

f

на открытом интервале

(a,b)

удовлетворяет равенству

\int \limits _{a}^{b}f(x)\cdot h(x)dx=0

для всех финитных гладких функций

h

на

(a,b)

, тогда

f

является тождественным нулём^[1]^[2].

Замечания

Гладкость может означать что функция $f$ бесконечно дифференцируема^[1], но чаще интерпретируется как то, что функция $f$ дважды непрерывно дифференцируема или даже непрерывно дифференцируема или даже просто непрерывна^[2].
Финитность означает, что $h$ обнуляется за пределами замкнутого интервала $[c,d]\subset (a,b)$ , но часто достаточно условие того, что $h$ (или $h$ и ряд его производных) обращается в нуль на концах интервала $[a,b]$ , в этом случае $h$ предполагается определённой на интервале $[a,b]$ .

Литература

Jost, Jürgen & Li-Jost, Xianqing. Calculus of variations (англ.). — Cambridge University, 1998.
Gelfand, I. M. & Fomin, S. V. Calculus of variations. — Prentice-Hall, 1963.

Похожие исследовательские статьи

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимно-обратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления открыло новую эпоху в развитии математики, положив начало теории рядов, теории дифференциальных уравнений и многому другому. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики и расширили применение математики в естественных науках и технике.

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

Теорема Ро́лля — теорема математического анализа, входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши, в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что

Выпуклая функция — функция, надграфик или подграфик которой является выпуклым множеством.

<span class="mw-page-title-main">Формула конечных приращений</span>

Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция $\text{[math]}$ непрерывна на отрезке $\text{[math]}$ и дифференцируема в интервале $\text{[math]}$ , то найдётся такая точка $\text{[math]}$ , что

\text{[math]}

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция $\text{[math]}$ , приращение которой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение $\text{[math]}$ не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Среднее значение функции — некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа : если $\text{[math]}$ непрерывна на отрезке $\text{[math]}$ и дифференцируема в интервале $\text{[math]}$ , то существует точка $\text{[math]}$ , принадлежащая интервалу $\text{[math]}$ , такая, что $\text{[math]}$ . В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если $\text{[math]}$ непрерывна на отрезке $\text{[math]}$ , а $\text{[math]}$ сохраняет постоянный знак, то существует точка $\text{[math]}$ из интервала $\text{[math]}$ такая, что

\text{[math]}

Критической точкой дифференцируемой функции $\text{[math]}$ называется точка, в которой её дифференциал обращается в нуль. Это условие эквивалентно тому, что в данной точке все частные производные первого порядка обращаются в нуль, геометрически оно означает, что касательная гиперплоскость к графику функции горизонтальна. В простейшем случае n=1 это значит, что производная $\text{[math]}$ в данной точке равна нулю. Это условие является необходимым для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции.

Абсолютная непрерывность — свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Формула Ньютона — Лейбница, или основная формула анализа, или формула Барроу даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Леммой Гейне — Бореля называется следующий факт, играющий фундаментальную роль в анализе:

Из всякой бесконечной системы интервалов, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечную подсистему, также покрывающую этот отрезок.

<span class="mw-page-title-main">Стохастическое исчисление Ито</span>

Исчисление Ито — математическая теория, обобщающая методы математического анализа для применения к случайным процессам, таким как броуновское движение. Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито:

\text{[math]}

Атома́рная фу́нкция — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Теорема Тейлора</span>

Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлора k-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является частичной суммой их ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки. Точное содержание теоремы Тейлора до настоящего времени не согласовано. Конечно, существует несколько версий теоремы, применимых в различных ситуациях, и некоторые из этих версий содержат оценки ошибки, возникающей при приближении функции с помощью многочлена Тейлора.

В математическом анализе неопределенный интеграл от заданной функции в связанной области определяется только с точностью до аддитивной постоянной константы интегрирования. Эта константа выражает неоднозначность, присущую при взятии первообразных. $\text{[math]}$ определена на интервале, и $\text{[math]}$ является первообразной $\text{[math]}$ , тогда множество всех первообразных от $\text{[math]}$ задается функциями $\text{[math]}$ , где C — произвольная постоянная. Для простоты константа интегрирования в списках интегралов иногда опускается.

Вторая производная или производная второго порядка функции $\text{[math]}$ является производной от производной от $\text{[math]}$ . Грубо говоря, вторая производная измеряет, как изменяется скорость изменения самой величины; например, вторая производная положения объекта по времени — это мгновенное ускорение объекта или скорость изменения скорости объекта по времени. В нотации Лейбница:

\text{[math]}

Условие Вейерштрасса-Эрдмана — математический результат из вариационного исчисления, определяющий достаточные условия для ломаных экстремалей.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.