Основная теорема алгебры

Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся доказательства привлекают неалгебраические концепции вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости. К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений.

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт (теорема Лиувилля), что ограниченная функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, — константа. Поэтому функция ${\displaystyle 1/p(z)}$, где ${\displaystyle p(z)}$ — многочлен, не сводящийся к константе, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен ${\displaystyle p(z)}$ имеет хотя бы один корень.

Прямым следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени ${\displaystyle n}$ над полем комплексных чисел имеет в нём ровно ${\displaystyle n}$ корней, с учётом их кратности.

Другими словами, алгебраическое замыкание поля действительных чисел есть поле комплексных чисел.

Случай ${\displaystyle n=0}$ очевиден, поэтому сразу переходим к случаю ${\displaystyle n>0}$. У данного многочлена ${\displaystyle f(x)}$ тогда есть корень ${\displaystyle a}$, что по определению корня многочлена (в школьной математике обычно ссылаются на теорему Безу, чтобы отождествлять определения многочлена и соответствующего уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$), означает представи́мость в виде ${\displaystyle (x-a)g(x)}$, где ${\displaystyle g(x)}$ — некоторый многочлен, степень которого на 1 меньше степени ${\displaystyle f(x),}$ и у него по основной теореме алгебры тоже будет хотя бы один корень, который может не равняться ${\displaystyle a,}$ а может и совпасть с ${\displaystyle a}$ (в последнем случае корень ${\displaystyle a}$ окажется кратным). Приме́ним теорему Безу к ${\displaystyle g(x)}$ и будем индуктивно использовать её таким же образом до тех пор, пока на месте ${\displaystyle g(x)}$ не окажется многочлен первой степени.

История теоремы впервые получает развитие у немецкого математика Петера Рота^[нем.] (?—1617). В своём трактате «Arithmetica Philosophica» (1608) он высказал предположение о том, что многочлен степени ${\displaystyle n}$ не может иметь более ${\displaystyle n}$ корней^[1]. Более смелую формулировку дал Альбер Жирар в труде «Новое открытие в алгебре» (1629): уравнение степени ${\displaystyle n}$ должно иметь ровно ${\displaystyle n}$ корней, действительных (включая отрицательные) или «воображаемых» (последний термин обозначал комплексные невещественные корни, пользу от которых Жирар особо оговорил). Однако Жирар сделал оговорку: эта теорема может быть неверна, если уравнение «неполное», то есть некоторые коэффициенты равны нулю. Взгляды Рота и Жирара опередили своё время и широкой известности не получили^[2].

Декарт в труде «Геометрия» (1637) использовал следующую формулировку: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений»; далее он тоже делает оговорку: «хотя всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням»^[3].

Маклорен и Эйлер уточнили формулировку теоремы, придав ей форму, эквивалентную современной: всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. Д’Аламбер первым в 1746 году представил доказательство этой теоремы, которое было опубликовано в 1748 году^[4]; оно, однако, основывалось на лемме, доказанной только в 1851 году, причём доказанной с использованием основной теоремы алгебры. В 1749 году было представлено, а в 1751 году — опубликовано доказательство Эйлера^[5], при этом работал он над данной проблемой почти в то же время, что и Д’Аламбер^[6]. Также во второй половине XVIII века появляются доказательства Лагранжа (1772)^[7], Лапласа (1795)^[8] и других. Все эти доказательства тоже опирались на недоказанные предположения — например, Эйлер считал очевидным, что вещественный многочлен нечётной степени непременно имеет вещественный корень, а Лаплас предположил без доказательства, что все корни многочлена либо вещественные, либо комплексные невещественные^[9].

Гаусс в 1799 году дал своё доказательство, однако использовал то же предположение, что и Эйлер; впоследствии он не раз возвращался к этой теме и дал ещё три доказательства, основанные на различных идеях, однако всегда привлекающие средства неалгебраического характера^[9]. Первое полное и строгое доказательство было представлено Жаном Арганом в 1814 году; в 1816 году строгое доказательство опубликовал и Гаусс^[10].

В 2007 году Джозеф Шипман показал, что любое поле, в котором многочлены простой степени имеют корни, алгебраически замкнуто^[11].

• Основная теорема анализа
• Основная теорема арифметики

• Алгебры основная теорема // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 199—200.
• Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях // Математическое просвещение. — МЦНМО, 2001. — С. 192. Архивировано 8 октября 2010 года.
• Башмакова И.Г. О доказательстве основной теоремы алгебры // Историко-математические исследования / Под редакцией Г. Ф. Рыбкина, А. П. Юшкевича. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — Вып. X. — С. 257—304.
• Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Мир, 1975. — 649 с.
  • Переиздание: СПб, Лань, 2004, ISBN 5-8114-0552-9, 624 с.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Тихомиров В. М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50—70.
• Almira, J.M.; Romero, A. (2012), "Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra" (PDF), Differential Geometry – Dynamical Systems, vol. 14, pp. 1—4 Архивная копия от 2 марта 2021 на Wayback Machine
• de Oliveira, O.R.B. (2011), "The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof", Mathematical Intelligencer, vol. 33, no. 2, pp. 1—2, doi:10.1007/s00283-011-9199-2
• Taylor, Paul (2 June 2007), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra Архивная копия от 1 мая 2017 на Wayback Machine — English translation of Gauss’s second proof.

• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. The fundamental theorem of algebra  (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (май 1996). Дата обращения: 13 ноября 2015. Архивировано 2 ноября 2015 года.