Особая точка кривой

Особая точка кривой — точка, в окрестности которой не существует гладкой параметризации. Точное определение зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраическую кривую на плоскости можно определить как множество точек ${\displaystyle \left(x,y\right)}$, удовлетворяющих уравнению вида ${\displaystyle f\left(x,y\right)=0}$, где ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ — полиномиальная функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$:

${\displaystyle f=a+b_{1}x+b_{2}y+c_{1}x^{2}+2c_{2}xy+c_{3}y^{2}+\dots }$.

Если начало координат ${\displaystyle \left(0,0\right)}$ принадлежит кривой, то ${\displaystyle a=0}$. Если ${\displaystyle b_{2}\not =0}$, то теорема о неявной функции гарантирует существование гладкой функции ${\displaystyle g}$, такой что кривая принимает вид ${\displaystyle y=g\left(x\right)}$ в окрестности начала координат. Аналогично, если ${\displaystyle b_{1}\not =0}$, то существует такая функция ${\displaystyle h}$, что кривая удовлетворяет уравнению ${\displaystyle x=h\left(y\right)}$ в окрестности начала координат. В обоих случаях существует гладкое отображение ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, которое определяет кривую в окрестности начала координат. Заметим, что в окрестности начала координат

${\displaystyle b_{1}={\partial f \over \partial x},\,b_{2}={\partial f \over \partial y}.}$

Особые точки кривой — это те точки кривой, в которых обе производные обращаются в ноль:

${\displaystyle f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.}$

Пусть кривая проходит через начало координат. Положив ${\displaystyle y=mx}$, можно представить ${\displaystyle f}$ в виде

${\displaystyle f=(b_{1}+b_{2}m)x+(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+\dots }$.

Если ${\displaystyle b_{1}+b_{2}m\not =0}$, то уравнение ${\displaystyle f=0}$ имеет решение кратности 1 в точке ${\displaystyle x=0}$ и начало координат является точкой одиночного контакта кривой с прямой ${\displaystyle y=mx}$. Если ${\displaystyle b_{1}+b_{2}m=0}$, то ${\displaystyle f=0}$ имеет в точке ${\displaystyle x=0}$ решение кратности 2 или выше и прямая ${\displaystyle y=mx}$ является касательной к кривой. В этом случае, если ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}\not =0}$, кривая имеет двойной контакт с прямой ${\displaystyle y=mx}$. Если ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0}$, а коэффициент при ${\displaystyle x^{3}}$ не равен нулю, то начало координат является точкой перегиба кривой. Это рассуждение может быть применено к любой точке кривой путём переноса начала координат в заданную точку.^[1]

Если в вышеприведённом уравнении ${\displaystyle b_{1}=0}$ и ${\displaystyle b_{2}=0}$, но по крайней мере одна из величин ${\displaystyle c_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}}$ или ${\displaystyle c_{3}}$ не равна нулю, то начало координат называется двойной точкой кривой. Снова положим ${\displaystyle y=mx}$, тогда ${\displaystyle f}$ примет вид

${\displaystyle f=(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+(d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3})x^{3}+\dots .}$

Двойные точки можно классифицировать по корням уравнения ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0}$.

Если уравнение ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0}$ имеет два вещественных решения по ${\displaystyle m}$, то есть, если ${\displaystyle c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}>0}$, то начало координат называется точкой самопересечения^[англ.]. Кривая в этом случае имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям уравнения ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0}$. Функция ${\displaystyle f}$ в этом случае имеет седловую точку в начале координат.

Если уравнение ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0}$ не имеет вещественных решений по ${\displaystyle m}$, то есть, если ${\displaystyle c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}<0}$, то начало координат называется изолированной точкой. На вещественной плоскости начало координат окажется изолировано от кривой, однако на комплексной плоскости начало координат изолировано не будет и будет иметь две мнимых касательных, соответствующих двум мнимым решениям уравнения ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0}$. Функция ${\displaystyle f}$ в этом случае имеет локальный экстремум в начале координат.

Если уравнение ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0}$ имеет одно вещественное решение по ${\displaystyle m}$ кратности 2, то есть, если ${\displaystyle c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}=0}$, то начало координат называется каспом, или точкой возврата. Кривая в этом случае в особой точке меняет направление, образуя остриё. Кривая в начале координат имеет единственную касательную, что можно трактовать как две совпадающие касательные.

Термин узел (англ. node) используется как общее название для изолированных точек и точек самопересечения. Число узлов и число каспов кривой являются двумя инвариантами, используемыми в формулах Плюккера.

Если одно из решений уравнения ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0}$ является также решением уравнения ${\displaystyle d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}=0}$, то соответствующая ветвь кривой имеет перегиб в начале координат. В этом случае начало координат называется точкой самокасания. Если обе ветви имеют это свойство, то ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}}$ является делителем ${\displaystyle d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}}$, и начало координат называется биффлектоидальной точкой (точкой двойного соприкосновения).^[2]

В общем случае при равенстве нулю всех членов со степенью, меньшей ${\displaystyle k}$, и при условии, что хотя бы один член со степенью ${\displaystyle k}$ не равен нулю, говорят, что кривая имеет многократную точку порядка k. В этом случае кривая имеет ${\displaystyle k}$ касательных в начале координат, но некоторые из них могут быть мнимыми или совпадать.^[3]

Параметрическая кривая в R² определяется как образ функции g: R → R², g(t) = (g₁(t), g₂(t)). Особые точки такой кривой — это точки, в которых

${\displaystyle {dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.}$

Многие кривые можно задать в обоих видах, но эти два задания не всегда согласуются. Например, касп можно найти как у алгебраической кривой x³−y² = 0, так и параметрической кривой g(t) = (t², t³). Оба задания кривой дают особую точку в начале координат. Однако точка самопересечения^[англ.] кривой y²−x³−x² = 0 в начале координат является особой для алгебраической кривой, но при параметрическом задании g(t) = (t²−1,t(t²−1)) пара производных g′(t) никогда не обращается в ноль, а потому точка не является особой в вышеуказанном смысле.

Следует соблюдать осторожность при выборе параметризации. Например, прямую y = 0 можно задать параметрически как g(t) = (t³, 0) и она будет иметь особую точку в начале координат. Если же её же параметризовать как g(t) = (t, 0), она не будет иметь особых точек. Таким образом, технически более корректно говорить об особых точках гладкого отображения, а не об особых точках кривой.

Вышеуказанные определения можно распространить на неявные кривые, которые можно определить как множество нулей f⁻¹(0) произвольной гладкой функции. Определения также можно распространить на кривые в пространствах более высоких размерностей.

Согласно теореме Хасслера Уитни,^[4][5] любое замкнутое множество в Rⁿ является множеством решений f⁻¹(0) для некоторой гладкой функции f: Rⁿ → R. Следовательно, любая параметрическая кривая может быть задана как неявная кривая.

Примеры особых точек различных типов:

• Изолированная точка: x²+y² = 0,
• Пересечение двух прямых^[англ.]: x²−y² = 0,
• Касп (точка возврата): x³−y² = 0,
• Клювообразный касп: x⁵−y² = 0.

• Теория особенностей
• Теория Морса

• Harold Hilton. Plane Algebraic Curves. — Oxford, 1920.