Осоэдр

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Множество правильных n-угольных осоэдров
Пример шестиугольного осоэдра на сфере
Пример шестиугольного осоэдра на сфере
ТипРегулярный многогранник[англ.] или сферическая мозаика
Комбинаторика
Элементы
n рёбер
2 вершины 		Χ = 2
Граниn Двуугольников
Конфигурация вершины2n
Двойственный многогранникдиэдр
Классификация
Символ Шлефли{2,n}
Символ Витхоффа[англ.]n | 2 2
Диаграмма Дынкинаnode_12xnodennode
Группа симметрии Dnh, [2,n], (*22n), порядок 4n
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе
Этот пляжный мяч[англ.] показывает осоэдр с шестью серповидными гранями, если удалить два белых круга на концах.

n-угольный осоэдр — мозаика из двуугольников на сферической поверхности, где каждый такой двуугольник имеет две общие вершины (противоположные точки сферы) с другими двуугольниками.

Правильный n-угольный осоэдр имеет символ Шлефли {2, n}, а каждый двуугольник имеет внутренний угол 2π/n радиан (360/n градусов[1][2].

Осоэдры как правильные многогранники

Для правильных многогранников, символ Шлефли которых равен {m, n}, число многоугольных граней можно найти по формуле:

Правильные многогранники, известные с античных времён, являются единственными многогранниками, дающими в результате деления целое число для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 приводит к тому, что многоугольные грани должны иметь по меньшей мере три стороны.

Если рассматривать многогранники как сферическую мозаику, это ограничение может быть ослаблено, поскольку двуугольники можно рассматривать как сферические двуугольные фигуры, имеющие ненулевую площадь. Допущение m = 2 порождает новый бесконечный класс правильных многогранников, то есть осоэдров.


Правильный треугольный осоэдр, {2,3}, представленный в виде мозаики из трёх двуугольников на сфере.
Правильный четырёхугольный осоэдр, представленный в виде мозаики из четырёх двуугольников на сфере.
Семейство правильных осоэдров
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
Рисунок
Шлефли{2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8} {2,9} {2,10} {2,11} {2,12}
Коксетер node_12xnodenode_12xnode2xnodenode_12xnode3nodenode_12xnode4nodenode_12xnode5nodenode_12xnode6nodenode_12xnode7nodenode_12xnode8nodenode_12xnode9nodenode_12xnode1x0xnodenode_12xnode1x1xnodenode_12xnode1x2xnode
Граней и
рёбер 		123456789101112
Вершин 2

Калейдоскопическая симметрия

Двуугольные грани 2n-осоэдра , {2,2n}, представляют фундаментальные области диэдральной симметрии[англ.]: Cnv, [n], (*nn), порядок 2n. Области зеркального отражения можно показать, используя поочерёдную раскраску двуугольников. Рассечения двуугольников на два сферических треугольника создают бипирамиды и определяют диэдрическую симметрию Dnh, порядок 4n.

Симметрия C1vC2vC3vC4vC5vC6v
Осоэдр {2,2} {2,4} {2,6} {2,8} {2,10} {2,12}
Фундаментальные области

Связь с телами Штейнмеца

Четырёхугольный осоэдр топологически эквивалентен бицилиндру, пересечению двух цилиндров под прямым углом[3].

Производные многогранники

Двойственным многогранником n-угольного осоэдра {2, n} является n-угольный диэдр, {n, 2}. Многогранник {2,2} самодвойственен и является осоэдром и диэдром одновременно.

Осоэдр можно модифицировать тем же способом, что и другие многогранники, порождая усечённые[англ.] варианты. Усечённый n-угольный осоэдр — это n-угольная призма.

Бесконечноугольный осоэдр

В пределе осоэдр становится бесконечноугольным и представляет собой двумерное замощение:

Осотопы

Многомерные аналоги, в общем случае, называются осотопами. Правильный осототоп с символом Шлефли {2,p,…,q} имеет две вершины и в обеих вершинах вершинной фигурой служит {p,…,q}.

Двумерный осотоп (многоугольник) {2} — это двуугольник.

Этимология

Термин «осоэдр» (hosohedron) предложен Г. С. М. Коксетером и, возможно, происходит от др.-греч. ὅσος (осос) «сколь угодно», что указывает на возможность осоэдра иметь «сколь угодно много граней»[4].

Однородные шестиугольные диэдральные сферические многогранники
Симметрия: [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [6,2+], (2*3)
node_16node2nodenode_16node_12nodenode6node_12nodenode6node_12node_1node6node2node_1node_16node2node_1node_16node_12node_1node_h6node_h2xnode_hnode6node_h2xnode_h
{6,2}t{6,2}r{6,2}t{2,6}{2,6}rr{2,6}tr{6,2}[англ.]sr{6,2}s{2,6}
Двойственные им многогранники
V62V122V62V4.4.6[англ.]V26V4.4.6[англ.]V4.4.12V3.3.3.6[англ.]V3.3.3.3
*n32 варианты симметрии правильных мозаик: n3 или {n,3}
Сферические Евклидовы Компактные
гиперболические. 		Параком-
пактные. 		Некомпактные гиперболические.
{2,3}{3,3}{4,3}{5,3} {6,3}{7,3}{8,3} {∞,3} {12i,3} {9i,3} {6i,3} {3i,3}

См. также

Примечания

  1. ↑ Coxeter, 1973, p. 12.
  2. ↑ McMullen & Schulte, 2002, p. 161.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. Steinmetz Solid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. ↑ Schwartzman, 1994, p. 108–109.

Литература

  • Coxeter H. S. M. . Regular Polytopes. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • McMullen, Peter; Schulte, Egon. . Abstract Regular Polytopes. 1st edition. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
  • Schwartzman, Steven. . The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — ISBN 978-0-88385-511-9.

Ссылки