Осцилляции Зенера — Блоха
Осцилляции Зенера — Блоха — колебания частицы, движущейся в периодическом потенциале, под действием постоянной силы. Примером системы, в которой могут реализоваться такие колебания, является кристаллическое твердое тело. В реальных кристаллах создать условия для наблюдения осцилляций Зенера — Блоха трудно, однако они наблюдались в искусственных системах, например, сверхрешётках.
Кларенс Зенер[1] рассмотрел такие колебания для электронов кристалла во внешнем электрическом поле. Феликс Блох обобщил теорию на случай любых частиц и любых сил.
Квазиклассическое рассмотрение
Если пренебречь межзонными переходами электронов в присутствии внешнего электрического поля , то перемещения электрона в k-пространстве полностью определяется вторым законом Ньютона:
- .
Где —- элементарный заряд (в этих обозначениях заряд электрона равен Кл). При отсутствии столкновений электрон проходит во всей первой зоне Бриллюэна, отражается от её границы, снова пересекает зону, и вновь отражается на границе. В результате такое движение электрона в зоне под действием постоянного электрического поля имеет характер осцилляций в -пространстве, а значит и в обычном пространстве. Эти осцилляции получили название осцилляций Зенера (частичный случай электрического поля) и Блоха (общий случай действия потенциального поля какой-либо природы).
Пусть поле направлено вдоль вектора обратной решётки , определяющий положение границы зоны Бриллюэна, отражающей электроны. За одну осцилляцию электрон проходит расстояние . Если , где — постоянная решетки, то циклическая частота равна:
- .
Поскольку A, для поля В/м, то частота составляет около Гц. Осцилляции ограничены в пространстве. В такой ситуации потенциал возмущения видоизменяет энергетические уровни в зоне. И состояния, энергия которых отличается на величину изменяют энергии вдоль краёв зоны. Равные энергии создают т. н. штарковскую лестницу, названную так, поскольку её возникновение напоминает эффект Штарка в атомной физике. Ясно, что амплитуда , пространственных осцилляций определяется шириной зоны :
Так как на элементарную ячейку приходится одно состояние, то общее количество осцилляций остаётся неизменной величиной, однако интервалы между соседними уровнями энергии остаются конечными и одинаковыми.
Квантовая теория[2]
Волновая функция электрона в состоянии Зенера — Блоха, очевидно отличается от бегущей волны, поскольку уже не является хорошим квантовым числом. Рассматривая приложенный потенциал, как возмущение, находим:
- -
где — зонные функции Блоха, . Теория возмущений даёт
- .
Матричный элемент удобнее всего вычислять учитывая
- .
Переходя от суммирования по к интегрированию с помощью соотношения
- ,
и интегрируя по частям, используя свойство ортогональности плоских волн, получаем:
- -
откуда находим производные
- ,
как и
- .
Для того, чтобы периодичность волновой функции сохранялась, функция должна быть периодической. Если положить
где — энергия центра зоны, то с условия периодичности вытекает равенство энергий
где — целое число, а — вектор элементарной ячейки. В результате, состояние, которому отвечает собственное значение , локализовано в пространстве у элементарной ячейки, расположенной в точке , откуда полагая , находим
- .
Волновые функции Блоха здесь принимают вид
Теперь можно использовать простую модель, описывающую зону по направлению поля :
где — ширина зоны. Далее предполагаем, что функция от . Тогда
где — функция Бесселя, — целое число, а поле направлено вдоль оси . У точки функция ведет себя подобно стоящей волны с волновым вектором величины , то есть длина волнового вектора ровная половине расстоянии от центра зоны Бриллюэна к его границе. Когда , асимптотическое разложение даёт
- ,
где — классическая амплитуда пространственных осцилляций, а — основание натуральных логарифмов. Ясно, что при волновая функция очень быстро затихает. Она уменьшается при , достигая максимума в точке . Поведение этой волновой функции качественно напоминает поведение гармоничного осцилятора — она растет у концов отрезка, соответствующие классическим точкам поворота. С тем, чтобы наблюдать это явление необходимо удовлетворить условия
где — время между столкновениями. Обычно расчет времени проводят для состояний, близких к краям зоны. Типичные значения около с. В результате, электрон который осуществляет колебания Зинера — Блоха, большую часть времени находится около краёв зоны, и потому разумно принять оценку времени около . Для этой цели необходимо создать поля, которые превысят В/м. Во многих случаях такое сильное поле может привести к пробою полупроводника.
Сноски
- ↑ Clarence Zener. Теория электрического пробоя твёрдых диэлектриков // Proc. Roy. Soc. А.. — 1934. — Т. 145. — С. 523 — 529. — doi:10.1098/rspa.1934.0116. Архивировано 9 мая 2019 года.
- ↑ Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках / Пер. с англ. И. П. Звягин, А. Г. Миронов. — М.: Мир, 1986. — 304 с.
См. также
- Квантовый осциллятор
- Осцилляции Блоха