Отображение удвоения

В теории динамических систем отображение удвоения окружности — отображение $x\mapsto 2x\mod 1$ окружности $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ в себя, являющееся одним из базовых примеров отображений с хаотической динамикой.

Свойства

Отображение удвоения — необратимое и является накрытием степени 2.
Отображение удвоения является растягивающим.
Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности сопряжено отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом гёльдерово, но, вообще говоря, не гладкое.
Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения структурно устойчиво.
Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным накрытием, полусопряжена отображению удвоения.
Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение зуб пилы: $f(x)=\{2x\}$ , где $\{\cdot \}$ — дробная часть.
Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения $S^{1}=[0,1/2[\cup [1/2,1[$ , сопрягает отображение удвоения со сдвигом Бернулли, при этом мере Лебега соответствует мера Бернулли с весами (1/2,1/2).
Энтропия отображения удвоения равна логарифму двух.

Литература

Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.

Похожие исследовательские статьи

Фундамента́льная гру́ппа — одна из простейших конструкций в алгебраической топологии. Сопоставляется группа всякому связному топологическому пространству. Для подмножеств плоскости эта группа измеряет количество «дырок». Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать (стянуть) некоторую замкнутую кривую в точку.

<span class="mw-page-title-main">Гомеоморфизм</span>

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

<span class="mw-page-title-main">Накрытие</span>

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение $\text{[math]}$ линейно связного пространства $\text{[math]}$ на линейно связное пространство $\text{[math]}$ , такое, что у любой точки $\text{[math]}$ найдётся окрестность $\text{[math]}$ , полный прообраз которой $\text{[math]}$ представляет собой объединение попарно непересекающихся областей $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

Динамическая система — множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).

Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют $\text{[math]}$ -функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ $\text{[math]}$ .

Диффеоморфизм Аносова — диффеоморфизм $\text{[math]}$ , гиперболичный на всём многообразии $\text{[math]}$ — отображение с устойчивой динамикой относительно малых возмущений. Введён в теорию динамических систем Дмитрием Аносовым.

В теории динамических систем, области математики, число вращения сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности — среднее "число оборотов за одну итерацию" при длительном итерировании точки. Более точно, это предел отношения "числа оборотов" к количеству итераций.

Языки Арнольда — в теории динамических систем, области рациональности числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся с чистых поворотов.

Надстройка в теории динамических систем — специальным образом построенное векторное поле, динамика которого моделирует динамику итераций данного диффеоморфизма $\text{[math]}$ многообразия $\text{[math]}$ . Процедура построения надстройки является в определённом смысле обратной к взятию отображения Пуанкаре на трансверсальном сечении к потоку, и в определённом смысле обосновывает нестрогое утверждение «эффекты, которые наблюдаются для отображений в размерности $\text{[math]}$ , наблюдаются для потоков в размерности $\text{[math]}$ ». Обобщением понятия надстройки является специальный поток — в этом случае, время возвращения берётся непостоянным.

Соленоид Смейла — Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы : он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.

Пример Фюрстенберга — пример гладкой динамической системы на двумерном торе, которая минимальна, но не эргодична относительно меры Лебега.

Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Инвариантная мера — в теории динамических систем мера, определённая в фазовом пространстве, связанная с динамической системой и не изменяющаяся с течением времени при эволюции состояния динамической системы в фазовом пространстве. Понятие инвариантной меры применяется при усреднении уравнений движения, в теории показателей Ляпунова, в теории метрической энтропии и вероятностных фрактальных размерностей.

Аттрактор Плыкина — пример динамической системы на диске, максимальный аттрактор которой гиперболичен. В частности, этот пример структурно устойчив, как удовлетворяющий аксиоме A Смейла.

В теории динамических систем, динамическая система $\text{[math]}$ называется (топологически) транзитивной, если у неё есть всюду плотная в фазовом пространстве орбита:

\text{[math]}

В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

<span class="mw-page-title-main">Конфигурационное пространство (топология)</span>

Конфигурационное пространство в топологии — множество наборов различных точек заданного топологического пространства.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.