Отрицательное число

Отрица́тельное число́ — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел^[1]. Основной целью расширения было желание сделать вычитание такой же полноценной операцией, как сложение. В рамках натуральных чисел можно вычесть только меньшее число из большего, а переместительный закон не включает вычитание — например, выражение ${\displaystyle 3+4-5}$ допустимо, а выражение с переставленными операндами ${\displaystyle 3-5+4}$ недопустимо.

Добавление к натуральным числам отрицательных чисел и нуля делает возможной операцию вычитания для любых пар натуральных чисел. В результате такого расширения получается множество (кольцо) «целых чисел». При дальнейших расширениях множества целых чисел до рациональных и вещественных чисел для них тем же путём получаются соответствующие отрицательные значения. Для комплексных чисел понятия «отрицательное число» не существует.

Для каждого натурального числа ${\displaystyle n}$ существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое ${\displaystyle -n}$, которое дополняет ${\displaystyle n}$ до нуля:

${\displaystyle n+(-n)=0.}$

Оба числа называются противоположными друг для друга. Далее натуральные числа будут называться «положительными», в противовес «отрицательным». Если ${\displaystyle n}$ положительно, то противоположное ему отрицательно, и наоборот. Ноль противоположен самому себе^[1]. Аналогично определяются положительные и отрицательные значения для рациональных и вещественных чисел: каждому положительному числу ${\displaystyle a}$ сопоставляется отрицательное ${\displaystyle -a.}$

Для отрицательных чисел, как и для положительных, определена упорядоченность, позволяющая сравнивать одно число с другим. Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль, а также меньше, чем положительные числа. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля.

Абсолютной величиной для числа ${\displaystyle a}$ называется это число с отброшенным знаком^[2]. Обозначение: ${\displaystyle \left|a\right|.}$

Примеры: ${\displaystyle \left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0}$

Вычитание числа ${\displaystyle a}$' из другого числа ${\displaystyle b}$ равносильно сложению ${\displaystyle b}$ с противоположным для ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle b-a=b+(-a).}$

Пример: ${\displaystyle 25-75=-50.}$

О том, как выполнять арифметические операции с отрицательными числами, см. Целое число#Алгебраические свойства.

Отрицательные числа подчиняются практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, деление −24 на 5 с остатком допускает два представления:

${\displaystyle -24=5\cdot (-5)+1;\ -24=5\cdot (-4)-4}$

Правильным является только первое из них, в котором остаток неотрицателен.

Понятия положительных и отрицательных чисел можно определить в любом упорядоченном кольце. Чаще всего эти понятия относятся к одной из следующих числовых систем:

• Целые числа
• Рациональные числа
• Вещественные числа

Приведенные выше свойства 1-3 имеют место и в общем случае. К комплексным числам понятия «положительный» и «отрицательный» неприменимы.

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в классическом китайском трактате «Математика в девяти книгах» (II в до н. э.), а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или, как у Диофанта (III в н. э.), признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными, он определил все четыре операции с отрицательными числами.

В исламский мир отрицательные числа пришли из индийских работ. В X веке, Абу Камил проиллюстрировал правила знаков для раскрытия скобок в произведении выражений вида ${\displaystyle (a\pm b)(c\pm d)}$, а аль-Караджи в своей книге «Аль-Фахри» отметил, что «отрицательные величины должны учитываться как отдельные члены». Позже, Абу аль-Вафа аль-Бузджани в своём труде "Книга о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и купцов" рассматривал долги как отрицательные числа^[3]. В XII веке преемники аль-Караджи, такие как Самуил Марокканский, сформулировали общие правила работы с отрицательными числами и использовали их при делении многочленов^[4]. Термины positivus и negativus (положительный и отрицательный) пришли в Европу из перевода книги «Мухаммедов трактат по арифметике» Аль-Кушчи.

В Европе признание наступило гораздо позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год), который трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке Паскаль считал, что ${\displaystyle 0-4=0}$, так как «ничто не может быть меньше, чем ничто»^[5]. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси, благодаря введению в 1637 г. Рене Декартом прямоугольной системы координат. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция ${\displaystyle 1:(-1)=(-1):1}$ — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Валлис считал, что отрицательные числа меньше нуля, но в то же время больше, чем бесконечность^[6]. Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Гаусс в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей)^[7].

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

• Дополнительный код (представление числа)

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Панов В. Ф. Отрицательные числа // Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — С. 398—401. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2.