Отсутствие зависти

Отсу́тствие за́висти — это критерий справедливого дележа. При дележе, в результате которого отсутствует зависть^[1], любой агент чувствует, что его доля не меньше доли остальных агентов, потому никакой агент не чувствует зависть.

Ресурс делится среди нескольких агентов, так что любой агент ${\displaystyle i}$ получает долю ${\displaystyle X_{i}}$. Любой агент ${\displaystyle i}$ имеет субъективное отношение предпочтения ${\displaystyle \succeq _{i}}$ для различных возможных долей. Говорят, что в результате дележа отсутствует зависть, если для любых ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle X_{i}\succeq _{i}X_{j}}$

Если предпочтения агентов представлены функциями ${\displaystyle V_{i}}$, то это определение эквивалентно утверждению:

${\displaystyle V_{i}(X_{i})\geqslant V_{i}(X_{j})}$

Иначе, мы говорим, что агент ${\displaystyle i}$ завидует агенту ${\displaystyle j}$, если ${\displaystyle i}$ предпочитает свой собственный кусок куску агента ${\displaystyle j}$, то есть:

${\displaystyle X_{i}\prec _{i}X_{j}}$

${\displaystyle V_{i}(X_{i})<V_{i}(X_{j})}$

Говорят, что в результате дележа отсутствует зависть, если никакой агент не завидует другому агенту.

Критерий отсутствия зависти ввели для задачи справедливого разрезания торта Георгий А. Гамов и Марвин Стерн в 1958 году^[2]. В контексте задачи справедливого разрезания торта отсутствие зависти означает, что каждый агент верит, что их доля по меньшей мере не меньше, чем любая другая доля. В контексте дележа обязанностей отсутствие зависти означает, что каждый агент считает, что их доля по меньшей мере не больше, чем другие доли. Решающим критерием является отсутствие у агента желания обменять свою долю на долю другого агента.

См статьи:

• Завистливое разрезание торта — детальный обзор процедур и результатов, связанных с критерием отсутствия зависти при разрезании торта.
• Групповой завистливый делёж — усиление критерия отсутствия зависти от отдельных агентов до коалиций групп агентов.

Дункан Фоли в 1967 году применил критерий отсутствия зависти для экономической задачи распределения ресурсов^[3]. Он стал доминирующим критерием справедливости в экономике. См., например:

• Теоремы Вариана

См. также:

• Завистливое распределение объектов — обзор процедур и результатов, связанных с критерием отсутствия зависти при распределении неделимых предметов.
• Задача о совместном найме квартиры — пример задачи распределения, в которой отсутствие зависти является основным критерием справедливости.

Пропорциональность (ПД) и отсутствие зависти (ОЗ) являются двумя независимыми свойствами, но, в некоторых случаях, из одного свойства вытекает другое.

Когда все оценки являются аддитивными функциями множеств^[англ.] и весь торт разделён, выполняются следующие связи:

• Для двух участников ПД и ОЗ эквивалентны
• Для трёх и более участников из ОЗ вытекает ПД, но не наоборот. Например, возможен случай, когда каждый из трёх участников получает по 1/3 по его собственному субъективному мнению, но по мнению Алисы часть Боба оценивается в 2/3

Когда оценки являются лишь субаддитивными^[англ.], из ОЗ всё ещё вытекает ПД, но из ПД больше не следует ОЗ, даже для двух участников — возможен случай, когда доля Алисы в её глазах сто́ит 1/2, но доля Боба сто́ит даже больше. Если же оценки супераддитивны^[англ.], из ПД следует ОЗ для двух участников, но из ОЗ уже не следует ПД даже для двух участников — возможен случай, когда доля Алисы в её глазах сто́ит 1/4, но доля Боба сто́ит даже меньше. Аналогично, когда не весь торт разделён, из ОЗ не следует ПД. Импликации подытожены в следующей таблице:

Оценки	2 участника	3+ участника
Аддитивная	${\displaystyle EF\implies PR}$ ${\displaystyle PR\implies EF}$	${\displaystyle EF\implies PR}$
Субаддитивная	${\displaystyle EF\implies PR}$	${\displaystyle EF\implies PR}$
Супераддитивная	${\displaystyle PR\implies EF}$	-
Общего вида	-	-

• Неприятие неравенства
• Критерий отсутствия зависти может обеспечить более равное распределение в сделках с чередующимися предложениями^[4].