Параболическое уравнение
Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.
Определение
Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции :
При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:
- ,
где .
Матрица называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна , то есть матрица имеет одно собственное значение, равное нулю, и собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде:
- ,
где — эллиптический оператор, .
Решение параболических уравнений
Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию.
- Для нахождения решений параболических уравнений, в том числе и абстрактных параболических уравнений, могут применяться методы теории полугрупп операторов.
- Для аналитического решения параболических уравнений в бесконечной области (задача Коши для параболического уравнения) используют специальную интегральную формулу[2].
- Для аналитического решения параболических уравнений в конечной области может применяться метод разделения переменных Фурье.
- Для численного решения параболических уравнений используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объёмов, а также их комбинации и другие численные методы, подходящие для решаемой задачи.
Принцип максимума
Для параболического уравнения вида:
Решение принимает своё максимальное значение либо при , либо на границе области .
Примеры параболических уравнений
- Уравнения описывающие процессы конвекции и диффузии, в том числе уравнение диффузии и его частный случай — уравнение теплопроводности.
- Система уравнений Навье-Стокса, описывающее движение жидкости и газов является системой параболических уравнений с дивергентными ограничениями.
- Для некоторых типов сред из уравнений Максвелла можно получить параболические уравнения относительно векторов или .[3]
См. также
- Эллиптические уравнения
- Гиперболическое уравнение
- Автоволны
Примечания
- ↑ Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.
- ↑ Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов. Дифференциальные уравнения математической физики. — Москва: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2002. — 368 с. — ISBN 5-7038-1270-4.
- ↑ Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.