Парадокс кинетической энергии

Парадокс кинетической энергии — мысленный эксперимент в рамках классической механики, якобы свидетельствующий о нарушении принципа относительности Галилея. При изменении скорости тела приращение его кинетической энергии в одной системе отсчёта не равно приращению в другой системе отсчёта. Отсюда якобы следует существование систем отсчёта, где нарушается закон сохранения энергии, и, вследствие этого, якобы нарушается принцип относительности Галилея.

Рассмотрим игрушечный автомобиль с заводной пружиной, которая способна запасать потенциальную энергию ${\displaystyle W}$. Потерями энергии на трение пренебрежём. Пусть этот запас энергии способен разогнать игрушку до скорости ${\displaystyle v}$. Перейдём в другую инерциальную систему отсчёта, которая движется относительно Земли навстречу автомобилю со скоростью ${\displaystyle v}$. С точки зрения этой системы отсчёта, скорость игрушки до разгона равна ${\displaystyle v}$ и кинетическая энергия равна ${\displaystyle W}$. Скорость игрушки после разгона равна ${\displaystyle 2v}$ и кинетическая энергия ${\displaystyle 4W}$. Таким образом, кинетическая энергия автомобиля возросла на ${\displaystyle 3W}$, что превышает запас энергии в пружине ${\displaystyle W}$^[1].

Парадокс объясняется тем, что в приведённых рассуждениях не учитывается изменение импульса и кинетической энергии Земли в процессе разгона игрушки. Если учесть изменение импульса и кинетической энергии Земли, то парадокс объясняется. Вращательным движением Земли пока пренебрежём.

Перейдём в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале неподвижны. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение ${\displaystyle mv+MV=0}$, где ${\displaystyle m}$ — масса игрушки, ${\displaystyle v}$ — скорость игрушки, ${\displaystyle M}$ — масса Земли, ${\displaystyle V}$ — скорость Земли. В соответствии с законом сохранения энергии можно записать уравнение ${\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}}$. Выражая скорость Земли ${\displaystyle V}$ из уравнения ${\displaystyle mv+MV=0}$ и подставляя в уравнение ${\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}}$, получим ${\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)}$^[1].

Перейдём затем в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале движутся со скоростью ${\displaystyle v}$. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение ${\displaystyle m(2v)+MV_{1}=(m+M)v}$, где ${\displaystyle V_{1}}$ — скорость Земли после разгона игрушки. В соответствии с законом сохранения энергии для изменения кинетической энергии можно записать уравнение ${\displaystyle \delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+M)v^{2}}{2}}}$. Выразим скорость Земли ${\displaystyle V_{1}}$ из уравнения ${\displaystyle m(2v)+MV_{1}=(m+M)v}$ и подставим в предыдущее уравнение. Получим ${\displaystyle \delta E=3{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {M}{2}}\left(\left(1-{\frac {m}{M}}\right)^{2}v^{2}-v^{2}\right).}$ После простых преобразований получим ${\displaystyle \delta E={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)=W}$. То есть и в этом случае изменение кинетической энергии всей системы равно потенциальной энергии пружины ${\displaystyle W}$^[2].

Изменение кинетической энергии игрушки в новой системе отсчёта в три раза больше, чем в системе отсчёта, связанной с Землёй за счёт того, что оно происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт того, что колёса игрушки в новой системе отсчёта тормозят Землю^[2].

Учтём теперь вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы ${\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}}$ появится и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет того же порядка, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли, поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки. В системе отсчёта, где скорости игрушки и Земли в начале равны ${\displaystyle v}$, кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку изменение угловой скорости Земли одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчёта^[3].

Рассмотрим тело массой ${\displaystyle m}$ движущееся со скоростью ${\displaystyle v_{1}}$. Пусть на это тело в течение некоторого времени ${\displaystyle t}$ действует постоянная сила ${\displaystyle F}$, направленная по той же прямой, что и скорость ${\displaystyle v_{1}}$. Она изменяет скорость тела от значения ${\displaystyle v_{1}}$ до значения ${\displaystyle v_{2}}$. В результате действия этой силы изменение кинетической энергии тела будет равно ${\displaystyle {\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})}$.

Теперь перейдём в другую систему отсчёта, движущуюся относительно прежней системы отсчёта равномерно и прямолинейно со скоростью ${\displaystyle v}$, направленной по той же прямой, что и скорость ${\displaystyle v_{1}}$. В этой системе отсчёта изменение кинетической энергии будет равно ${\displaystyle {\frac {m}{2}}((v_{2}-v)^{2}-(v_{1}-v)^{2})={\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})}$, то есть будет меньше, чем в первой системе отсчёта, что не согласуется с принципом относительности Галилея^[4].

Принцип относительности требует, чтобы в двух рассматриваемых системах отсчёта соблюдались одни и те же физические законы. Таким образом должен выполняться закон сохранения энергии, согласно которому изменение энергии тела должно быть равно работе внешних сил. Поэтому в первой системе должно быть справедливо соотношение ${\displaystyle {\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=Fs}$. Здесь ${\displaystyle s}$ — длина пути, пройденного телом в первой системе за то время, в течение которого скорость возросла с ${\displaystyle v_{1}}$ до ${\displaystyle v_{2}}$. Так как тело движется с ускорением ${\displaystyle {\frac {F}{m}}}$, то ${\displaystyle s=v_{1}t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}}$.

Во второй системе ${\displaystyle {\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})=Fs_{1}}$. Здесь ${\displaystyle s_{1}}$ — длина пути, пройденного телом во второй системе ${\displaystyle s_{1}=(v_{1}-v)t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}}$. Итак, ${\displaystyle s-s_{1}=vt}$. Так как ${\displaystyle {\frac {F}{m}}=a={\frac {(v_{2}-v_{1})}{t}}}$, то ${\displaystyle t={\frac {m(v_{2}-v_{1})}{F}},s-s_{1}={\frac {mv(v_{2}-v_{1})}{F}}}$. Таким образом ${\displaystyle F(s-s_{1})=mv(v_{2}-v_{1})}$.

Работа внешней силы в первой системе отсчёта настолько больше, чем во второй, насколько изменение кинетической энергии в первой системе больше, чем во второй. Так как в первой системе изменение энергии равно работе внешних сил, то это справедливо и для второй системы. Следовательно, принцип относительности Галилея не нарушен^[4].

• Кинетическая энергия
• Закон сохранения энергии

• Е.И. Бутиков, А.А. Быков, А.С. Кондратьев. Физика в примерах и задачах. — М.: Наука, 1989. — 464 с. — ISBN 5-02-014057-0.
• Throwing a Ball from a Moving Car  (англ.) // Mark Levi. Why Cats Land on Their Feet. Princeton University Press, 2012. С. 74-76.