Первичный идеал (алгебра)

Первичный идеал является обобщением понятия простого числа в кольце целых чисел на произвольные (некоммутативные) кольца. Понятие простого идеала является частным случаем этого понятия.

Определение

Первичным идеалом полугруппы или кольца $A$ называется всякий идеал $P$ (не совпадающий с A), такой, что если два элемента $a,b\in A$ таковы, что $\forall r\in A\ arb\in P$ , то либо $a\in P$ , либо $b\in P$ .

Свойства

Следующие условия эквивалентны первичности идеала P ≠ R кольца R:

Для любых a, b ∈ R, если (a)(b) ⊆ P, то a ∈ P или b ∈ P.
Для любых правых идеалов A, B кольца R, если AB ⊆ P, то A ⊆ P или B ⊆ P.
Для любых левых идеалов A, B кольца R, если AB ⊆ P, то A ⊆ P или B ⊆ P.
Для любых a, b ∈ R, если aRb ⊆ P, то a ∈ P или b ∈ P.

Понятие первичного идеала кольца является обобщением понятия простого идеала кольца. В случае коммутативных колец оба понятия совпадают.

См. также

Литература

Ламбек И. Кольца и модули. — 3-е изд. — М.: Мир, 1971. — 278 с.

Похожие исследовательские статьи

Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

Область целостности — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля.

Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом.

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления, причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Элементы поля не обязательно являются числами, поэтому, несмотря на то, что названия операций поля взяты из арифметики, определения операций могут быть далеки от арифметических.

Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.

Максимальным идеалом коммутативного кольца называется всякий собственный идеал кольца, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале.

Алгебра над полем — векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Нильрадикал коммутативного кольца — идеал, состоящий из всех его нильпотентных элементов.

Нильпотентный идеал — идеал $\text{[math]}$ кольца $\text{[math]}$ , для которого существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ , то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что произведение любых $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец.

Локальное кольцо — кольцо, которое имеет относительно простую внутреннюю структуру и позволяет описывать «локальное поведение» функций на алгебраическом многообразии или обычном многообразии. Раздел коммутативной алгебры, изучающий локальные кольца и модули над ними, называется локальной алгеброй.

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Простой элемент ― обобщение понятия простого числа на случай произвольного коммутативного моноида с двусторонним сокращением, определяется как не являющийся делителем единицы ненулевой элемент $\text{[math]}$ , такой, что произведение $\text{[math]}$ может делиться на $\text{[math]}$ лишь тогда, когда хотя бы один из элементов $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ делится на $\text{[math]}$ .

Факторкольцо́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.

Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p₁ ⋯ p_n (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

Спектр кольца в математике — множество всех простых идеалов данного коммутативного кольца. Обычно спектр снабжается топологией Зарисского и пучком коммутативных колец, что делает его локально окольцованным пространством. Спектр кольца $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ .

Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна. Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.

Целый элемент — элемент заданного коммутативного кольца с единицей $\text{[math]}$ относительно подкольца $\text{[math]}$ , являющийся корнем приведённого многочлена с коэффициентами в $\text{[math]}$ , то есть такой $\text{[math]}$ , для которого существуют коэффициенты $\text{[math]}$ , такие что:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.