Перебор делителей

Перебор делителей (пробное деление) — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путём полного перебора всех возможных потенциальных делителей.

Описание алгоритма

Обычно перебор делителей заключается в переборе всех целых (как вариант: простых) чисел от 2 до квадратного корня из факторизуемого числа n и в вычислении остатка от деления n на каждое из этих чисел. Если остаток от деления на некоторое число i равен 0, то i является делителем n. В этом случае либо n объявляется составным, и алгоритм заканчивает работу (если тестируется простота n), либо n сокращается на i и процедура повторяется (если осуществляется факторизация n). По достижении квадратного корня из n и невозможности сократить n ни на одно из меньших чисел n объявляется простым^[1].

Для ускорения перебора часто не проверяются чётные делители, кроме числа 2, а также делители, кратные трём, кроме числа 3. При этом тест ускоряется в три раза, так как из каждых шести последовательных потенциальных делителей необходимо проверить только два, а именно вида 6·k±1, где k — натуральное число.

Данный алгоритм является ресурсоемким при проверке больших чисел на простоту, но для его ускорения можно прибегнуть к следующим методам оптимизации. Для объяснения возьмем три последовательных числа (n-1, n, n+1). Предположим, что число n — простое. Так как n — простое, то слева и справа от него будут стоять числа, кратные двум, а исходя из того, что мы рассматриваем тройку подряд идущих чисел, среди них обязательно найдётся число, кратное трем. Тогда число n-1 и n+1 кратны двум, и одно из них кратно трем; следовательно, одно из этих чисел будет кратно шести. Теперь мы можем сказать, что простое число, большее трех, всегда будет стоять рядом с числом, кратным шести. Оптимизируя наш алгоритм, мы можем изначально проверить окрестность большого числа N, а именно N-1 и N+1, на кратность 6, и после этого запустить алгоритм проверки на простоту. Данный метод можно использовать и на задачах, связанных с отрезком чисел, и перебирать только те, которые стоят рядом с числом, кратным шести.

Скорость

Худший случай, если перебор придется проводить от 2 до корня из n. Сложность данного алгоритма

O(n^{1/2})={\sqrt[{2}]{n}}

Пример

Для иллюстрации проведем перебор делителей числа n = 29. i — возможные делители n.

$[n^{1/2}]=5$

i	n % i
2	1
3	2
4	1
5	4

Так как ни один из остатков деления 29 не равен 0, то 29 объявляется простым.

Пусть теперь n = 7399, тогда^[2]

$[n^{1/2}]=86$

i	n % i
2	1
3	1
4	3
5	4
6	1
7	0

Так как остаток деления 7399 на 7 равен 0, то 7399 не является простым.

Практическое применение

В практических задачах данный алгоритм применяется редко ввиду его большой вычислительной сложности, однако его применение оправдано в случае, если проверяемые числа относительно невелики, так как данный алгоритм довольно легко реализуем^[1].

См. также

Примечания

↑ ¹ ² Childs, 2009, pp. 117-118.
↑ Crandall, Pomerance, 2005, pp. 117-119.

Литература

Lindsay N. Childs. A Concrete Introduction to Higher Algebra. — 3rd ed. — New York, 2009. — 603 p.
Richard Crandall, Carl Pomerance. Prime numbers. A computational perspective. — 2nd ed. — New York, 2005. — 597 p.