Переменные действие — угол

Переменные действие — угол — пара канонически сопряженных переменных классической механической системы, в которой роль импульса играет переменная действия — адиабатический инвариант.

Производящей функцией для канонического преобразования в новых переменных является функция

${\displaystyle S_{0}(q,E)=\int p(q,E)dq}$,

где ${\displaystyle E}$ — энергия — однозначно связана с адиабатическим инвариантом ${\displaystyle I}$.

Канонически сопряженная к переменной действия угловая переменная ${\displaystyle \omega }$ определяется как

${\displaystyle \omega ={\frac {\partial S_{0}(q,I)}{\partial I}}}$.

Уравнения движения в переменных «действие — угол» имеют очень простой вид:

${\displaystyle {\dot {I}}=0}$,

${\displaystyle {\dot {\omega }}={\frac {dE}{dI}}=\nu (I)}$.

Таким образом, адиабатический инвариант ${\displaystyle I}$ является интегралом движения, а угловая переменная возрастает со временем по линейному закону. За один период угловая переменная увеличивается на ${\displaystyle 2\pi }$. Переменные координата ${\displaystyle q}$ и импульс ${\displaystyle p}$ являются периодическими функциями угловой переменной.

Найдем переменные «действие — угол» для гармонического осциллятора

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}(p^{2}+\omega ^{2}q^{2})\implies p(E,q)=\pm {\sqrt {2E-\omega ^{2}q^{2}}}}$.

По определению

${\displaystyle I={\frac {1}{2\pi }}\oint p(E,q)dq={\frac {1}{\pi }}\int _{-{\frac {\sqrt {2E}}{\omega }}}^{\frac {\sqrt {2E}}{\omega }}{\sqrt {2E-\omega ^{2}q^{2}}}dq={\frac {E}{\omega }}}$.

А значит, производящая функция канонического преобразования имеет вид

${\displaystyle S_{0}(I,q)=\omega \int ^{q}{\sqrt {{\frac {2I}{\omega }}-x^{2}}}dx}$

По определению переменной «угол»

${\displaystyle \theta ={\frac {\partial S_{0}}{\partial I}}=\int ^{q}{\frac {dx}{\sqrt {{\frac {2I}{\omega }}-x^{2}}}}=\arcsin {\frac {q}{\sqrt {\frac {2I}{\omega }}}}}$

Координата ${\displaystyle q}$ и импульс ${\displaystyle p}$ выражаются тогда через переменные «действие — угол» следующим образом:

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {2I}{\omega }}}\sin \theta }$.

${\displaystyle p={\frac {\partial S_{0}}{\partial q}}=\omega {\sqrt {{\frac {2I}{\omega }}-q^{2}}}={\sqrt {2I\omega }}\cos \theta }$

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. Теоретическая физика, т. 1. — Госиздат, 1958. — 206 с.

• Суперинтегрируемая гамильтонова система