Перестановочные операторы
Перестановочные операторы — ограниченный линейный оператор и линейный оператор , для которых оператор является расширением оператора : . Если операторы и определены на всем пространстве (причем не обязательно ограничены), то они перестановочны, если . В этом случае перестановочные операторы также называют коммутирующими[1]. В общем случае равенство неудобно использовать в качестве определения перестановочности, потому что тогда даже обратный оператор не будет перестановочен с , если определён не на всём пространстве — тогда операторы и будут иметь разные области определения. Иногда для перестановочных операторов используют обозначения: или [2][3].
Свойства
- Если оператор перестановочен с и перестановочен с , то также перестановочен с и .
- Если перестановочен с и перестановочен с , то операторы и перестановочны с .
- Если перестановочен с и существует , то перестановочен с .
- Если перестановочен с каждым из операторов , то перестановочен с .
- Если каждый из операторов перестановочен с , то перестановочен с в предположении, что ограничен, а замкнут.
- Если перестановочен с и сопряжённый оператор существует, то перестановочен с [3].
Случай конечномерного пространства
В конечномерном пространстве перестановочным операторам отвечают перестановочные матрицы: . Задача Фробениуса состоит в том, чтобы определить все матрицы , перестановочные с данной матрицей . Все решения задачи Фробениуса имеют вид
где — произвольная матрица, перестановочная с , — матрица, приводящая к нормальной жордановой форме : . Число линейно независимых решений задачи Фробениуса определяется формулой:
где — степени непостоянных инвариантных многочленов матрицы .
Если линейные операторы в конечномерном пространстве попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство на инвариантные относительно всех операторов подпространства:
так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов был степенью неприводимого многочлена[4].
Перестановочные операторы всегда имеют общий собственный вектор[5]. Если дано конечное или бесконечное множество попарно перестановочных нормальных операторов в унитарном пространстве, то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов. В терминах матриц это означает, что любое конечное или бесконечное множество попарно перестановочных матриц приводится к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразованием[6].
См. также
Примечания
- ↑ Гантмахер, 1966, с. 263.
- ↑ Войцеховский, 1984.
- ↑ 1 2 Рисс, 1979, п. 116.
- ↑ Гантмахер, 1966, глава VIII, §2.
- ↑ Гантмахер, 1966, с. 245.
- ↑ Гантмахер, 1966, глава IX, §15.
Литература
- Войцеховский М. И. Перестановочные операторы // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.
- Рисс Ф., Сёкефильви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.
- Супруненко Д. А., Тышкевич Р. И. Перестановочные матрицы. — Минск: Наука и техника, 1966. — 2500 экз.