Перечисление графов
Перечисление графов — категория задач перечислительной комбинаторики, в которых нужно пересчитать неориентированные или ориентированные графы определённых типов, как правило, в виде функции от числа вершин графа[1]. Эти задачи могут быть решены либо точно (как задача алгебраического перечисления[англ.]) или асимптотически. Пионерами в этой области математики были Пойа[2], Кэли[3] и Редфилд[англ.][4].
Помеченные и непомеченные задачи
В некоторых задачах перечисления графов вершины графов считаются помеченными, делая их отличимыми друг от друга. В других задачах любая перестановка вершин считается тем же графом, так что вершины считаются идентичными или непомеченными. В общем случае, помеченные задачи, как правило, оказываются проще[1]. Теорема Редфилда — Пойи является важным средством для сведения непомеченной задачи к помеченной — каждый непомеченный класс считается классом симметрии помеченных объектов.
Точные формулы перечисления
Некоторые важные результаты в этой области.
- Число помеченных простых неориентированных графов с n вершинами равно 2n(n − 1)/2[5]
- Число помеченных простых ориентированных графов с n вершинами равно 2n(n − 1)[6]
- Число Cn связных помеченных неориентированных графов с n вершинами удовлетворяет рекуррентному соотношению[7]
- из которого можно легко вычислить для n = 1, 2, 3, …, что значения Cn равны[8]:
- 1, 1, 4, 38, 728, 26704, 1866256, …
- Число помеченных свободных деревьев с n вершинами равно nn − 2 (формула Кэли).
- Число непомеченных гусениц с n вершинами равно[9]
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Harary, Palmer, 1973.
- ↑ Pólya, 1937, с. 145—254.
- ↑ Arthur Cayley (недоступная ссылка) A Cambridge Alumni Database. University of Cambridge.
- ↑ Redfield, 1927, с. 433—455.
- ↑ Harary, Palmer, 1973, с. 3.
- ↑ Harary, Palmer, 1973, с. 5.
- ↑ Harary, Palmer, 1973, с. 7.
- ↑ последовательность A001187 в OEIS
- ↑ Harary, Schwenk, 1973, с. 359–365.
Литература
- Harary F., Palmer E. M. Graphical Enumeration. — Academic Press, 1973. — ISBN 0-12-324245-2.
- Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов = русский перевод предыдущего пункта. — Мир, 1977.
- Harary F., Schwenk A. J. The number of caterpillars // Discrete Mathematics. — 1973. — Т. 6, вып. 4. — С. 359–365. — doi:10.1016/0012-365x(73)90067-8.
- Pólya G. Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen // Acta Mathematica. — 1937. — Vol. 68. — doi:10.1007/BF02546665. (недоступная ссылка)
- The theory of group-reduced distributions // American J. Math. — 1927. — Т. 49.