Плоскость Кэли

Перейти к навигации Перейти к поиску

Плоскость Кэли — проективная плоскость над алгеброй Кэли $\mathbb {O}$ . Обычно обозначается $\mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}$ . Была построена в 1933 году Руфь Муфанг^[англ.] и названа в честь Артура Кэли.

Построение

Точки плоскости Кэли могут быть определены как пучки прямых в $\mathbb {O} ^{2}$ . Это построение аналогично построению проективного пространства, но не обобщается на старшие размерности.

Свойства

Плоскость Кэли допускает разложение на три клетки, размерностей 0, 8 и 16.
Плоскось Кэли является симметрическим пространством $F_{4}/\mathrm {Spin} (9)$ , где F₄ — одна из особых простых групп Ли и $\mathrm {Spin} (9)$ — спинорная группа девятимерного евклидового пространства (она реализуется как подгруппа в $F_{4}$ ).
Плоскость Кэли недезаргова.
- В частности, из этого следует, что плоскость Кэли не вкладывается в проективное пространство.
Для плоскости Кэли, существует вложение Веронезе $\mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}\to \mathbb {S} ^{25}$ $\mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}\to \mathbb {S} ^{25}$ .^[1]
- Это эквивариантное вложение, то есть действие $F_{4}$ на $\mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}$ продолжается до изометрического действия на $\mathbb {S} ^{25}$ .
- Образ вложения является минимальным подмногообразием.

Примечания

↑ K. Sakamoto, Planar geodesic immersions, Tohoku Math. J., 29 (1977), 25–56.

Похожие исследовательские статьи

Проекти́вное простра́нство над полем $\text{[math]}$ — пространство, состоящее из прямых некоторого линейного пространства $\text{[math]}$ над данным полем. Прямые пространства $\text{[math]}$ называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело $\text{[math]}$ . Для полей $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ , и тела $\text{[math]}$ соответствующее проективное пространство называется вещественным $\text{[math]}$ , комплексным $\text{[math]}$ или кватернионным $\text{[math]}$ соответственно.

Группа вращений в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве $\text{[math]}$ . По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию. Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц $\text{[math]}$ с определителем 1.

Важное свойство проективной плоскости — «симметрия» ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к концепции двойственности: один, использующий язык «принципа двойственности», позволяет объявить ряд теорем двойственными друг к другу, при этом двойственная к верной теореме тоже верна; и другой, функциональный подход, основанный на специальном отображении двойственности. Связь между подходами состоит в том, что двойственная теорема получается применением отображения двойственности к каждому объекту исходной. Возможен и координатный подход.

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Проективное представление группы $\text{[math]}$ на векторном пространстве $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ — это гомоморфизм $\text{[math]}$ в проективную группу

\text{[math]}

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства $\text{[math]}$ размерности $\text{[math]}$ называется многообразие, состоящее из его $\text{[math]}$ -мерных подпространств. Обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . В частности, $\text{[math]}$ — это многообразие прямых в пространстве $\text{[math]}$ , совпадающее с проективным пространством $\text{[math]}$ . Названо в честь Германа Грассмана.

Решётка — набор векторов евклидова пространства $\text{[math]}$ , образующий дискретную группу по сложению.

Многообразием Илса — Кёйпера называется компактификация евклидова пространства $\text{[math]}$ сферой $\text{[math]}$ , где n = 2, 4, 8, и 16.

n = 2: многообразие Илса — Кёйпера диффеоморфно вещественной проективной плоскости $\text{[math]}$ .

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

Поверхность Веронезе — алгебраическая поверхность в пятимерном проективном пространстве, которая реализуется как образ вложения Веронезе. Существует также обобщение вложения Веронезе на произвольные размерности проективных пространств. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Веронезе.

Отображение Веронезе — отображение из $\text{[math]}$ в пространство симметричных матриц $\text{[math]}$ определённое формулой

\text{[math]}

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

Комплексная проективная плоскость — двумерное комплексное проективное пространство; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4.

<span class="mw-page-title-main">Раздутие</span>

Разду́тие — операция в алгебраической геометрии. В простейшем случае оно, грубо говоря, состоит в замене точки на множество всех прямых, проходящих через неё.

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Арифметическая группа — это группа, получаемая как целые точки алгебраической группы, например, $\text{[math]}$ Арифметические группы возникают естественным образом при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических областей теории чисел. Они также являются источником для очень интересных примеров римановых многообразий, а потому представляют интерес для дифференциальной геометрии и топологии. Наконец, эти две области объединяются в теорию автоморфных форм, которая является фундаментальной в современной теории чисел.

K3-поверхность — связная односвязная компактная комплексная поверхность, допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Характеристические классы — это далеко идущее обобщение таких количественных понятий элементарной геометрии, как степень плоской алгебраической кривой или сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности. Более подробно они описаны в соответствующей статье. Теория Черна — Вейля позволяет представлять некоторые характеристические классы как выражения от кривизны.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.