Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Чтобы вычислить число состояний частицы в единичном энергетическом интервале, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (пространство волновых векторов, оно же ${\displaystyle k}$-пространство). «Расстояние» по ${\displaystyle k}$ между состояниями определяется граничными условиями.

Для свободных электронов и фотонов в области ${\displaystyle 0<x<L}$ или для электронов в кристаллической решётке с параметром решётки ${\displaystyle L}$ используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции: ${\displaystyle \psi (x)=\psi (x+L)}$. В таком случае ${\displaystyle \psi (x)={\mbox{const}}\cdot e^{ik_{x}x}}$ и для возможных значений ${\displaystyle x}$-компоненты волнового вектора ${\displaystyle k_{x}}$ получается соотношение ${\displaystyle 2\pi N=k_{x}L}$, где ${\displaystyle N}$ — любое целое число. Расстояние между соседними (то есть ${\displaystyle N}$-м и ${\displaystyle N}$${\displaystyle +1}$ -м) состояниями будет

${\displaystyle \Delta k_{x}={\frac {2\pi }{L}}}$.

Аналогичные выражения можно записать и для других декартовых координат (${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$). Набор доступных состояний представляет собой бесконечный массив точек по нескольким (скольким именно — зависит от размерности) «направлениям» ${\displaystyle k}$-пространства.

Количество состояний ${\displaystyle G(k)}$, доступных для частицы с модулем волнового вектора меньше заданного значения ${\displaystyle k}$, равно объёму «${\displaystyle n}$-мерного шара радиусом ${\displaystyle k}$», делённому на объём, приходящийся на одно состояние:

${\displaystyle G(k)={\frac {\nu _{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{\mathbf {k} }}}$,

где ${\displaystyle \nu _{s}}$ — вырождение уровня (обычно спиновое вырождение, равное 2). Под ${\displaystyle (\Delta k)^{n}}$ понимается произведение ${\displaystyle 1\cdot \Delta k_{x}\cdot \Delta k_{y}\ldots }$, в котором число сомножителей определяется размерностью. Для трехмерной (3D) ситуации интеграл равен ${\displaystyle 4/3\cdot \pi k^{3}}$, а ${\displaystyle (\Delta k)^{n}=(2\pi )^{3}/L^{3}}$.

Чтобы найти плотность состояний в ${\displaystyle k}$-пространстве, выражение для ${\displaystyle G(k)}$ нужно продифференцировать:

${\displaystyle g(k)={\frac {dG(k)}{dk}}}$.

Для перехода к плотности состояний по энергии необходимо знать закон дисперсии для частицы, то есть уметь выразить ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle dk}$ в терминах ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle dE}$. Тогда

${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\cdot g(k(E)){\frac {dk}{dE}}}$.

Скажем, для свободного электрона ${\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/2m}$, ${\displaystyle dE=\hbar ^{2}k\,dk/m}$, где ${\displaystyle m}$ — масса, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка, ${\displaystyle V}$ (м³) — объём. С небольшими изменениями выражения применимы и при неодинаковости массы или размеров ${\displaystyle L}$ по разным направлениям. Результаты для ${\displaystyle D}$ приведены в таблице следующего раздела.

Для плотности состояний также существует формальное соотношение иного вида — через дельта-функцию:

${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\sum _{s}~\delta (E-E_{s})}$,

где индекс ${\displaystyle s}$ отвечает некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра. При замене суммирования интегрированием по фазовому пространству используется правило

${\displaystyle \sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}k~d^{n}q}{(2\pi )^{n}}}}$,

где ${\displaystyle q}$ — пространственные координаты.

В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии^[1]:

	Объём ${\displaystyle \int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{\mathbf {k} }}}$	Объём для одного состояния ${\displaystyle (\Delta k)^{n}}$	Плотность состояний ${\displaystyle D(E)}$
${\displaystyle 3D}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi k^{3}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2m^{3}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}}$
${\displaystyle 2D}$	${\displaystyle \pi k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}}$	${\displaystyle {\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{z}}}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})}$
${\displaystyle 1D}$	${\displaystyle 2k}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{L_{x}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{y}L_{z}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l}}}}}$
${\displaystyle 0D}$	1	1	${\displaystyle {\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})}$

где ${\displaystyle l}$ — индекс подзоны размерного квантования, ${\displaystyle \Theta }$ — функция Хевисайда. Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Все формулы для ${\displaystyle D(E)}$, приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж⁻¹м⁻³ и структуру «некое выражение ${\displaystyle \rho (E)}$, делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все ${\displaystyle L}$), то останется ${\displaystyle \rho (E)}$ с размерностью [${\displaystyle \rho }$] = Дж⁻¹м⁻², Дж⁻¹м⁻¹ и Дж⁻¹, соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только ${\displaystyle D(E)}$, но и ${\displaystyle \rho (E)}$.

Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов, каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака, а для бозонов, в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна.

Скажем, концентрации электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитываются как

${\displaystyle n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (E)F(E)\,dE,\quad p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}\rho (E)(1-F(E))\,dE}$,

где ${\displaystyle F}$ — функция Ферми, ${\displaystyle E_{c}}$ (${\displaystyle E_{v}}$) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). В качестве ${\displaystyle \rho }$ здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности: ${\displaystyle \rho _{3D}}$ для толщи материала (и тогда концентрации будут в м⁻³), ${\displaystyle \rho _{2D}}$ для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м⁻²), ${\displaystyle \rho _{1D}}$ для квантовой проволоки (концентрацию получим в м⁻¹) или ${\displaystyle \rho _{0D}}$ (случай квантовой точки, получим не концентрацию, а число штук частиц).

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine