Плотный порядок
Плотный порядок — это отношение между элементами множеств в частичном или линейном порядке (обозначим его <) на множестве X, когда для всех x и y из X, для которых выполняется x < y, существует элемент z в X, такой что x < z < y. Иными словами, порядок называют плотным, когда нет соседних элементов. Поскольку между любыми двумя элементами плотного порядка есть ещё хотя бы один, любой отрезок плотного порядка бесконечен[1].
Пример
Плотным упорядоченным множеством являются вещественные числа и рациональные числа с обычным порядком. С другой стороны, обычный порядок целых чисел плотным не является.
Единственность
Георг Кантор доказал[англ.], что два любых плотных линейно упорядоченных счётных множества без нижней и верхней границ изоморфны относительно упорядочения[англ.][2]. В частности, существует изоморфизм с сохранением порядка между рациональными числами и другими плотными счётными множествами, включая двоично-рациональные числа и алгебраические числа. В методе подбора[англ.][3] используется доказательство этого результата.
Функция Минковского может быть использована для определения изоморфизмов порядка между квадратичными алгебраическими числами и рациональными числами, а также между рациональными числами и двоично-рациональными числами.
Обобщения
Бинарное отношение R считается плотным, если для всех связанных отношением R x и y, имеется z, такое что x и z, а также z и y связаны отношением R. Формально:
В терминах суперпозиции отношений[англ.] R с собой, условие плотности может быть альтернативно выражено как [4].
Достаточными условиями к тому, что бинарное отношение R на множестве X будет иметь плотный порядок, являются случаи когда:
- R рефлексивно;
- R корефлексивно;
- R квазирефлексивно;
- R лево- или право-евклидово;
- R симметрично и полуконнексно[англ.] и X имеет элементов.
Ни одно из них не является необходимым. Непустое плотное отношение не может быть антитранзитивным.
Строго частичный порядок < является плотным порядком тогда и только тогда, когда < является плотным отношением. Плотное отношение является идемпотентным отношением[англ.], когда оно также транзитивно.
См. также
- Плотное множество
- Плотное в себе подмножество[англ.]
- Семантика Крипке — плотное отношение достижимости, которое соответствует аксиоме
Примечания
- ↑ Лекция 5: упорядоченные множества (рус.). Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук (2015). Дата обращения: 16 февраля 2021. Архивировано 1 ноября 2019 года.
- ↑ Roitman, 1990, с. 123.
- ↑ Dasgupta, 2013, с. 161.
- ↑ Schmidt, 2011, с. 212.
Литература
- Judith Roitman. Theorem 27, p. 123 // Introduction to Modern Set Theory. — John Wiley & Sons, 1990. — Т. 8. — (Pure and Applied Mathematics). — ISBN 9780471635192.
- Abhijit Dasgupta. Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets. — Springer-Verlag, 2013. — ISBN 9781461488545.
- Gunter Schmidt. Relational Mathematics. — Cambridge University Press, 2011. — ISBN 978-0-521-76268-7.
Литература для дальнейшего чтения
- David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn. Dynamic logic. — MIT Press, 2000. — С. 6ff. — ISBN 0-262-08289-6.