Плюригармоническая функция

Плюригармоническая функция — такая многомерная, два раза непрерывно дифференцируемая, функция комплексного переменного $f\colon G\subset {\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }$ , что на любой комплексной прямой $\{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}$ функция

z\mapsto f(a+bz)

есть гармоническая функция на множестве

\{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}

Примечания

Каждая плюригармоническая функция является гармонической функцией, но не наоборот. Кроме того, может быть показано, что для голоморфной функции нескольких комплексных переменных её реальная (и мнимая) части являются локально плюригармоническими функциями. Однако, если функция гармоническая по каждой переменной в отдельности, это не означает, что она плюригармоническая.

Литература

Steven G. Krantz. Funktion theory of several complex variables. — AMS Chelsea Publishing, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2001.
Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. В 5-и томах. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — 608 с.
Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. — М.: Наука, 1964. — 412 с.
Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. — 320 с.
Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. — М.: Мир, 1969. — 396 с.
Рудин У. Теория функций в единичном шаре из $C^n$. — М.: Мир, 1984. — 456 с.
Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. — М.: Гос. изд. физ.- мат. лит., 1962. — 420 с.
Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. — М.: Гос. изд. физ.- мат. лит., 1963. — 428 с. с.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 720 с.

См. также

Плюрисубгармоническая функция

Похожие исследовательские статьи

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\text{[math]}$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $\text{[math]}$ , значения $\text{[math]}$ которой численно выражают исходы $\text{[math]}$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\text{[math]}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Фу́нкция — соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого.

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

<span class="mw-page-title-main">Рациональная функция</span> числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция $\text{[math]}$ , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $\text{[math]}$ , удовлетворяющая уравнению Лапласа:

\text{[math]}

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией $\text{[math]}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции $\text{[math]}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция $\text{[math]}$ комплексных переменных $\text{[math]}$ ограничена, то есть

\text{[math]}

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости, являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Вы́чет в комплексном анализе — объект, характеризующий локальные свойства заданной функции или формы.

Плюрисубгармоническая функция — вещественнозначная функция $\text{[math]}$ , от $\text{[math]}$ комплексных переменных $\text{[math]}$ в области $\text{[math]}$ комплексного пространства $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , удовлетворяющая следующим условиям:

$\text{[math]}$ полунепрерывна сверху всюду в $\text{[math]}$ ;
$\text{[math]}$ есть субгармоническая функция переменного $\text{[math]}$ в каждой связной компоненте открытого множества $\text{[math]}$ для любых фиксированных точек $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Автомо́рфная фу́нкция — функция $\text{[math]}$ , аналитическая в некоторой области $\text{[math]}$ и удовлетворяющая в этой области соотношению $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — элемент некоторой счётной подгруппы группы дробно-линейных преобразований комплексной плоскости.

Числова́я фу́нкция — функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество). Числовые множества — это множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел вместе с определёнными для соответствующих множеств алгебраическими операциями. Для всех перечисленных числовых множеств, кроме комплексных чисел, определено также отношение линейного порядка, позволяющее сравнивать числа по величине. Числовые пространства — это числовые множества вместе с функцией расстояния, заданной на соответствующем множестве.

Область определения — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Вещественно-аналитическая функция — вещественная функция, представимая в окрестности каждой точки степенным рядом. Эквивалентное определение: вещественная функция, равная в окрестности каждой точки области определения своему ряду Тейлора.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.