Поверхность Безье

Поверхность Безье — параметрическая поверхность, используемая в компьютерной графике, автоматизированном проектировании, и моделировании. Это одно из распространённых пространственных обобщений кривой Безье.

При кусочном моделировании (patch modeling) для задания и изменения формы куска, представляющего собой пространственную решетку из сплайнов или многоугольников, применяется сеть контрольных точек. Эти точки управления, также известные как контрольные вершины (control vertices — CV) оказывают на гибкую поверхность куска подобное магнитному влияние, при котором поверхность растягивается в том или ином направлении. Кроме того, куски можно и дальше подразделять на элементы для достижения большего разрешения и «сшивать» друг с другом, тем самым создавая сложные объёмные поверхности. Так же, как и сплайновые, кусочные модели используются при создании органических форм.

Уравнение поверхности

Поверхность Безье порядка $(n,m)$ задаётся $(n+1)\cdot (m+1)$ контрольными точками $\mathbf {P} _{i,j}$ . Точки поверхности рассчитываются следующей параметризацией:

\mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\;B_{j}^{m}(v)\;\mathbf {P} _{i,j}

где $u,v\in (0,1)$ , а $B$ — многочлены Бернштейна:

B_{i}^{n}(u)={n \choose i}\;u^{i}(1-u)^{n-i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}\;u^{i}(1-u)^{n-i}

Наиболее часто используются бикубические поверхности Безье $(n=m=3)$ , задающиеся шестнадцатью контрольными точками.

Литература

Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
BEZIER_SURFACE. Routines for Bezier Surface Information Архивная копия от 28 сентября 2010 на Wayback Machine (англ.) — Библиотека функций Matlab и Fortran, позволяющая исследовать свойства Безье-поверхностей. Распространяется в соответствии с лицензией LGPL.

См. также

Похожие исследовательские статьи

И́мпульс — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

Корреля́ция, или корреляцио́нная зави́симость — статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин, при этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

Пра́вила Ки́рхгофа — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи.

Сплайн — функция в математике, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым алгебраическим многочленом (полиномом). Максимальная из степеней использованных полиномов называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Например, непрерывная ломаная есть сплайн степени 1 и дефекта 1. В современном понимании сплайны — это решения многоточечных краевых задач сеточными методами.

Моме́нт и́мпульса — векторная физическая величина, характеризующая количество вращательного движения и зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена в пространстве и с какой угловой скоростью происходит вращение.

Кривы́е Безье́ или Кривы́е Бернште́йна — Безье́ — типы кривых, предложенные в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей.

Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

Дифференциа́льная фо́рма порядка $\text{[math]}$ , или $\text{[math]}$ -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $\text{[math]}$ на многообразии.

Класс трёхмерных параметрических поверхностей определяется функцией $\text{[math]}$ , зависящей от $\text{[math]}$ параметров и отображающей некоторое связное множество $\text{[math]}$ из n-мерного пространства в трёхмерное пространство таким образом, что это отображение является поверхностью. Эта функция $\text{[math]}$ задаёт класс поверхностей, а набор $\text{[math]}$ параметров — конкретную поверхность из этого класса.

Лагранжева механика — формулировка классической механики, введённая Луи Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие — интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности, которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру $\text{[math]}$ и двойным интегралом по односвязной области $\text{[math]}$ , ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Вириал $\text{[math]}$ для множества $\text{[math]}$ точечных частиц в механике определяется как:

\text{[math]}

Нейронные сети Кохонена — класс нейронных сетей, основным элементом которых является слой Кохонена. Слой Кохонена состоит из адаптивных линейных сумматоров. Как правило, выходные сигналы слоя Кохонена обрабатываются по правилу «Победитель получает всё»: наибольший сигнал превращается в единичный, остальные обращаются в ноль.

Гиперповерхность является обобщением понятия поверхности 3-мерного пространства для n-мерного пространства; это многообразие размерности n, которое вложено в евклидово пространство на единицу большей размерности $\text{[math]}$ .

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве $\text{[math]}$ двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в $\text{[math]}$ некоторую кривую;
m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в $\text{[math]}$ , вообще говоря, m-мерную поверхность;
векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на $\text{[math]}$ .

В вычислительной математике алгоритм де Кастельжо, названный в честь его изобретателя Поля де Кастельжо — рекурсивный метод определения формы многочленов Бернштейна или кривых Безье. Алгоритм де Кастельжо также может быть использован для разделения кривой Безье на две части по произвольному значению параметра $\text{[math]}$ .

Треугольник Безье — особый тип поверхности Безье, получаемый при интерполировании по контрольным точкам.

Алгоритм де Бура — это численный метод вычисления значения B-сплайна в заданной точке; является обобщением алгоритма де Кастельжо для кривых Безье. Оригинальная версия алгоритма, разработанная Карлом де Буром в 1971 году, имеет полиномиальную вычислительную сложность, но отличается хорошей численной устойчивостью. Последующие модификации, появившиеся в попытке упростить и ускорить алгоритм, демонстрируют сравнительно худшую устойчивость.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.