Поверхность Бовиля

Поверхность Бовиля — это одна из поверхностей общего типа^[англ.], которые ввёл Арно Бовиль^[1]. Они являются примерами «ложных квадрик» с теми же самыми числами Бетти, что и у поверхностей второго порядка.

Построение

Пусть C₁ и C₂ — гладкие кривые типа g₁ и g₂. Пусть G — конечная группа, действующая на C₁ и C₂, такая, что

G имеет порядок $(g_{1}-1)(g_{2}-1)$
Никакой нетривиальный элемент группы G не имеет фиксированную точку как в C₁, так и в C₂
C₁/G и C₂/G рациональны.

Тогда фактормногообразие $(C_{1}\times C_{2})/G$ является поверхностью Бовиля.

В качестве примера можно взять в качестве C₁ и C₂ копии поверхности пятого порядка $X^{5}+Y^{5}+Z^{5}=0$ (с родом 6), а в качестве группы G — элементарную абелеву группу порядка 25 с соответствующими действиями на двух кривых.

Инварианты

Ромб Ходжа:

		1
	0		0
0		2		0
	0		0
		1

Примечания

↑ Beauville, 1996, с. exercise X.13 (4).

Литература

Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Springer-Verlag, Berlin, 2004. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). — ISBN 978-3-540-00832-3.
Arnaud Beauville. Complex algebraic surfaces. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — Т. 34. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-49510-3.

Похожие исследовательские статьи

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

Пространство Кала́би — Яу — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль. В теории суперструн иногда предполагают, что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби — Яу, что привело к идее зеркальной симметрии. Название было придумано в 1985 году, в честь Эудженио Калаби, который впервые предположил, что такие размерности могут существовать, и Яу Шинтуна, который в 1978 году доказал гипотезу Калаби.

Эллипти́ческая крива́я над полем $\text{[math]}$ — неособая кубическая кривая на проективной плоскости над $\text{[math]}$ , задаваемая уравнением 3-й степени с коэффициентами из поля $\text{[math]}$ и «точкой на бесконечности». В подходящих аффинных координатах её уравнение приводится к виду

\text{[math]}

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности, которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

Ориента́ция — обобщение и формализация понятий направления обхода и направления на прямой на более сложные геометрические объекты, многообразия, векторные расслоения и так далее.

Алгебраическая кривая, или плоская алгебраическая кривая, — это геометрическое место (множество) точек на плоскости (O;x,y), которое определяется как множество нулей многочлена от двух переменных. Степенью (или порядком) n этой кривой называется степень этого многочлена. Алгебраические кривые степеней n = 1, 2, 3, …, 8 кратко называются прямыми, кониками, кубиками, квартиками, пентиками, секстиками, септиками, октиками соответственно. Например, единичная окружность — это алгебраическая кривая степени 2 (коника), так как она задаётся уравнением x² + y² − 1 = 0.

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют $\text{[math]}$ -функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ $\text{[math]}$ .

Факторизация с помощью эллиптических кривых — алгоритм факторизации натурального числа с использованием эллиптических кривых. Данный алгоритм имеет субэкспоненциальное время выполнения. Является третьим по скорости работы после общего метода решета числового поля и метода квадратичного решета.

Фёдор Алексеевич Богомолов — советский и американский математик, известный своими работами по алгебраической геометрии и теории чисел.

Алгебраическая поверхность — это алгебраическое многообразие размерности два. В случае геометрии над полем комплексных чисел алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два, а потому имеет размерность четыре как гладкое многообразие.

Циссоида — кривая, созданная из двух заданных кривых C₁, C₂ относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C₁ в точке P₁, а C₂ — в точке P₂. Пусть P — точка на L такая, что OP = P₁P₂. Множество таких точек P называется циссоидой кривых C₁, C₂ относительно O.

Классификация Энриквеса — Кодайры — это классификация компактных комплексных поверхностей на десять классов. Для каждого из этих классов поверхности этих классов можно параметризовать пространством модулей. Для большинства классов пространства модулей хорошо проработаны, но для класса поверхностей общего типа пространства модулей слишком сложны для явного описания, хотя некоторые компоненты известны.

Гиперэллиптическая или биэллиптическая поверхность — это поверхность, морфизм Альбанезе которой является эллиптическим расслоением. Любая такая поверхность может быть записана как факторгруппа произведения двух эллиптических кривых по конечной абелевой группе. Гиперэллиптические поверхности образуют один из классов с размерностью Кодайры 0 в классификации Энриквеса — Кодайры.

Поверхность Хопфа — это компактная комплексная поверхность, получаемая как фактор комплексного векторного пространства C² \ 0 по свободно действующей конечной группе. Если эта группа является группой целых чисел, поверхность Хопфа называется примарной, в противном случае — вторичной. Первый пример такой поверхности нашёл Хопф с дискретной группой, изоморфной группе целых чисел и генератором, действующим на C² путём умножения на 2. Это был первый пример компактной комплексной поверхности без кэлеровой метрики.

Поверхность Иноуэ — это некоторые комплексные поверхности Кодайры класса VII. Поверхности названы именем Масахита Иноуэ, который привёл первые нетривиальные примеры поверхностей Кодайры класса VII в 1974.

Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.

K3-поверхность — связная односвязная компактная комплексная поверхность, допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Теорема Богомолова о разложении описывает структуру кэлеровых многообразий с тривиальным каноническим расслоением. Справку о многообразиях такого типа можно найти в статье «Многообразие Калаби — Яу».

<span class="mw-page-title-main">Неявная кривая</span>

Неявная кривая — это плоская кривая, определённая уравнением в неявном виде, связывающим две координатные переменные, обычно обозначаемые x и y. Например, единичная окружность задаётся уравнением $\text{[math]}$ . В общем случае любая неявная кривая задаётся уравнением вида

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.