Поверхность Больцы
Поверхность Больцы (кривая Больцы) — компактная риманова поверхность рода 2 с максимальным возможным порядком конформной группы автоморфизмов для этого порядка, а именно, с группой GL2(3) порядка 48. Полная группа автоморфизмов (включая отражения) является полупрямым произведением порядка 96. Аффинная модель поверхности Больцы может быть получена как геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению
в . Поверхность Больцы является гладким расширением[англ.] аффинной кривой. Из всех гиперболических поверхностей рода 2, поверхность Больцы имеет наивысшую систолу. Как гиперэллиптическая[англ.] риманова поверхность она возникает как разветвлённое двойное покрытие римановой сферы с точками разветвления в шести вершинах правильного октаэдра[англ.], вписанного в сферу, как можно ясно видеть из приведённой формулы.
Треугольная поверхность
Поверхность Больцы является (2,3,8)-треугольной поверхностью (треугольник Шварца): фуксова группа, определяющая поверхность Больцы, является подгруппой группы, образованной отражениями относительно сторон гиперболического треугольника с углами . Эта подгруппа является подгруппой с индексом группы отражений, которая состоит из произведения чётного числа отражений, и которая имеет абстрактное представление в терминах генераторов и отношений , а также . Фуксова группа , определяющая поверхность Больцы, является также подгруппой (3,3,4) группы треугольника, которая является подгруппой с индексом 2 группы треугольника (2,3,8). Группа (2,3,8) не имеет реализации в терминах алгебры кватернионов, но группа (3,3,4) — имеет.
Под действием на диск Пуанкаре фундаментальной областью поверхности Больцы является правильный восьмиугольник с углами в точках
- ,
где . Противоположные стороны восьмиугольника отождествляются под действием фуксовой группы. Генераторами служат матрицы:
- ,
где и , вместе с их обратными. Генераторы удовлетворяют соотношению:
См. также
- Гиперболическая кривая[англ.]
- Квартика Клейна[англ.]
- Поверхность Макбита
Литература
- Oskar Bolza. On Binary Sextics with Linear Transformations into Themselves // American Journal of Mathematics. — 1887. — Т. 10, вып. 1. — С. 47–70. — doi:10.2307/2369402. — .
- Katz M., Sabourau S. An optimal systolic inequality for CAT(0) metrics in genus two // Pacific J. Math.. — 2006. — Т. 227, вып. 1. — С. 95–107. — doi:10.2140/pjm.2006.227.95. — arXiv:math.DG/0501017.
- Maclachlan C., Reid A. The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. — New York: Springer, 2003. — Т. 219. — (Graduate Texts in Math.). — ISBN 0-387-98386-4.