Поверхность Дарбу

Пове́рхность Дарбу́ — двумерная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$, на которой определен и тождественно равен нулю тензор Дарбу.

Тензор Дарбу — это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определённый на поверхности F² с ненулевой гауссовой кривизной K в E³.

Компоненты тензора Дарбу ${\displaystyle \Theta }$ вычисляются по формулам:

${\displaystyle \Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_{jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,}$

где ${\displaystyle b_{ij}}$ — коэффициенты второй квадратичной формы, K — гауссова кривизна, а ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij}}$ и ${\displaystyle \nabla _{m}K}$ — их ковариантные производные.

К этому тензору в специальных координатах впервые пришёл Г. Дарбу^[1].

• Обращение в ноль тензора Дарбу характеризует поверхности Дарбу в E³ — двумерные поверхности второго порядка, не развёртывающиеся на плоскость^[2].

• Другое важное свойство поверхностей Дарбу связано с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Так, поверхности Дарбу положительной гауссовой кривизны K>0 в E³ характеризуются тем свойством, что система уравнений бесконечно малых изгибаний на них и только на них сводится к системе уравнений Коши — Римана^[3].

• Естественным обобщением поверхностей Дарбу являются n-мерные подмногообразия с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в ${\displaystyle (n+p)}$-мерных пространствах постоянной кривизны^[4].

• Всякая циклически рекуррентная поверхность F² с ненулевой гауссовой кривизной ${\displaystyle K}$ в трехмерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ локально есть поверхность Дарбу^[5].

• Теорема Бонне. На поверхности Дарбу в трёхмерном евклидовом пространстве вдоль каждой линии кривизны соответствующая ей главная кривизна пропорциональна кубу другой главной кривизны^[6].