Погружение (топология)

Погружение (или иммерсия) — это такое гладкое отображение гладких многообразий, дифференциал которого всюду инъективен^[1].

Примеры:

любое вложение является также и погружением;
знак бесконечности ∞ получается в результате погружения окружности в плоскость, не являющегося вложением (поскольку оно не инъективно).

В общей топологии погружением называют такое отображение топологических пространств, которое локально является гомеоморфизмом^[2].

Примечания

↑ Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993], Differential manifolds, Mineola, New York: Dover Publications, p. 27, ISBN 978-0-486-46244-8
↑ А. В. Чернавский. Погружение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Выворачивание сферы</span>

Выворачивание сферы — процесс перемены местами внешней и внутренней поверхностей сферы в трёхмерном пространстве в рамках условий дифференциальной топологии. Допускается самопересечение поверхностей, но в каждый момент времени она не имеет разрывов и сохраняет гладкость. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться дифференцируемым.

Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение $\text{[math]}$ -мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ можно аппроксимировать $\text{[math]}$ -гладким изометрическим вложением.

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое $\text{[math]}$ -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в $\text{[math]}$ -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.

Дикий узел — патологическое вложение окружности в пространство.

Изотопия — это гомотопия $\text{[math]}$ , для которой при любом $\text{[math]}$ отображение $\text{[math]}$ является гомеоморфизмом $\text{[math]}$ на $\text{[math]}$ .

Динамическая система — множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие $\text{[math]}$ класса $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , допускает изометрическое $\text{[math]}$ вложение в $\text{[math]}$ для достаточно большого $\text{[math]}$ .

Расслоение — тройка $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — топологическое пространство, называемое пространством расслоения, $\text{[math]}$ — другое пространство, называемое базой расслоения, $\text{[math]}$ — непрерывное сюръективное отображение $\text{[math]}$ пространства $\text{[math]}$ в пространство $\text{[math]}$ . Часто расслоением называют само отображение $\text{[math]}$ или пространство $\text{[math]}$ .

Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.

Теория узлов — изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу $\text{[math]}$ . В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вложения многообразий в целом.

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Вложение — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.

Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Вложение Сегре используется в проективной геометрии для того, чтобы рассматривать прямое произведение двух проективных пространств как проективное многообразие. Названо в честь итальянского математика Беньямино Сегре.

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

\text{[math]}

Трёхмерная топология — раздел топологии, посвященный изучению трёхмерных многообразий. Относится к маломерной топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.