Позиционная весовая матрица

Позиционная весовая матрица (ПВМ) — биоинформатический метод, который применяется для поиска мотивов в биологических последовательностях.
ПВМ может быть построена на основе множественного выравнивания родственных последовательностей, или последовательностей, выполняющих близкие функции. ПВМ используется во многих современных алгоритмах для обнаружения новых мотивов^[1].

Позиционная весовая матрица была представлена американским генетиком Гэри Стормо^[англ.] и его коллегами в 1982^[2] году как альтернативный способ представления консенсусных последовательностей. Консенсусные последовательности использовались ранее для отображения общих мотивов в биологических последовательностях, однако этот метод имел некоторые недостатки прогнозирования и поиска этих мотивов в новых последовательностях^[3]. Впервые ПВМ была использована для поиска сайтов инициации трансляции в РНК. Для создания матрицы весов, с помощью которой можно было бы отличать истинные сайты от схожих участков последовательностей, польско-американским математиком Анджеем Эренфойхтом^[англ.] был предложен перцептронный алгоритм. Результатом обучения перцептрона на выборках истинных и ложных сайтов являлись матрица и пороговое значение для различия этих двух наборов данных. Тестирование этой матрицы на новых последовательностях, не включенных в обучающую выборку, показало, что этот метод был более точным и чувствительным по сравнению с построением консенсусной последовательности.

Преимущества ПВМ перед консенсусными последовательностями сделали матрицы популярным методом для представления мотивов в биологических последовательностях^[4][5].

Строгое определение позиционно весовой матрицы выглядит следующим образом^[6]:

${\displaystyle W_{k,j}=log_{2}\left({\frac {P_{k,j}}{P_{k}}}\right)}$, где ${\displaystyle k=\{A,T,G,C\}}$ — алфавит последовательности (зд. нуклеотидов), ${\displaystyle j=1,...,J}$ — номер позиции,

${\displaystyle P_{k,j}}$ — позиционная матрица вероятностей, ${\displaystyle P_{k}}$ — встречаемость буквы ${\displaystyle k}$ в алфавите (то есть 0.25 для последовательности нуклеотидов и 0.05 для последовательности аминокислот).

ПВМ представляет собой матрицу, количество строк которой соответствует размеру алфавита (4 нуклеотида для нуклеиновых кислот и 20 аминокислот для белковых последовательностей), а количество столбцов — длине мотива^[6].

Первым этапом построения матрицы весов на основе множественного безделеционного выравнивания является создание позиционной матрица частот (ПМЧ). Элементы этой матрицы соответствуют тому, сколько раз каждая буква алфавита встречается на конкретной позиции в мотиве. Далее, ПМЧ преобразуется в позиционную вероятностную матрицу путём нормировки на общее число последовательностей в выравнивании. Такая матрица показывает, какова вероятность встретить данную букву в данной позиции в исходном выравнивании.

Каждый элемент вероятностной матрицы ${\displaystyle P_{k,j}}$ равен вероятности встретить букву ${\displaystyle k}$ в позиции ${\displaystyle j}$ в исходном выравнивании и высчитывается по формуле^[1]:
${\textstyle P_{k,j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}I\left({X_{i,j}=k}\right),}$
где ${\displaystyle i=1,...,N}$ — номер последовательности, ${\displaystyle j=1,...,J}$ — номер позиции, ${\displaystyle k}$ — буква алфавита,

${\displaystyle X_{i,j}}$ — буква, соответствующая позиции ${\displaystyle j}$ в последовательности ${\displaystyle i}$, а ${\displaystyle I}$ — индикаторная функция, вычисляемая по формуле:
_{${\textstyle {I\left(a=k\right)}=\left\{{\begin{matrix}1,&a=k,\\0,&a\neq k,\end{matrix}}\right.}$}

Например, даны следующие десять выровненных последовательностей ДНК, которые представляют один мотив:

соответственно позиционная матрица частот:

${\displaystyle F={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}3&6&1&0&0&6&7&2&1\\2&2&1&0&0&2&1&1&2\\1&1&7&10&0&1&1&5&1\\4&1&1&0&10&1&1&2&6\end{bmatrix}}.}$

и, следовательно, полученная после деления на число последовательностей вероятностная матрица:

${\displaystyle P={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}0.3&0.6&0.1&0.0&0.0&0.6&0.7&0.2&0.1\\0.2&0.2&0.1&0.0&0.0&0.2&0.1&0.1&0.2\\0.1&0.1&0.7&1.0&0.0&0.1&0.1&0.5&0.1\\0.4&0.1&0.1&0.0&1.0&0.1&0.1&0.2&0.6\end{bmatrix}}}$^[7].

В позиционной вероятностной матрице сумма значений каждого столбца, то есть вероятность встретить какую-нибудь букву алфавита в данной позиции, в случае безделеционного исходного выравнивания равна 1.

С помощью этой матрицы можно рассчитать вероятность того, что, генерируя с указанной в ней вероятностью буквы в каждой позиции, мы получим последовательность ${\displaystyle S}$. Так как столбцы матрицы предполагаются независимыми друг от друга, эта вероятность равна произведению вероятностей получить каждую букву последовательности в её позиции, то есть:
${\textstyle p(S\vert P)=\prod _{j=0}^{J}P_{S_{j},j},}$
где ${\displaystyle S_{j}}$ — буква последовательности ${\displaystyle S}$ в позиции ${\displaystyle j}$.
Например, вероятность того, что последовательности S = GAGGTAAAC получена матрицей ${\displaystyle P}$ из предыдущего примера, может быть рассчитана:
${\displaystyle p(S\vert P)=0.1\times 0.6\times 0.7\times 1.0\times 1.0\times 0.6\times 0.7\times 0.2\times 0.2=0.0007056.}$

Для расчета позиционной матрицы вероятностей из небольшого массива данных часто применяются псевдосчёты. Из-за неполноты выборки может возникнуть ситуация, когда в некоторой позиции в исходной выборке представлены не все буквы. В таком случае вероятность получить эту букву при генерации случайной последовательности из этой матрицы будет равна нулю. Соответственно, вероятность сгенерировать последовательность с такой буквой в этой позиции тоже будет равна нулю вне зависимости от остальной последовательности^[8]. Чтобы избежать этого, к каждому элементу вероятностной матрицы прибавляется некоторое значение, называемое псевдосчетом, чтобы сделать его отличным от нуля. По правилу Лапласа к каждому элементу матрицы частот добавляется 1 — минимальная возможная встречаемость буквы в этом положении. Существуют более сложные системы псевдосчетов, например, использующие смеси Дирихле или матрицы замен.

Учитывая псевдосчеты, определение матрицы вероятностей может быть сформулировано:

${\displaystyle P_{k,j}={\frac {F_{k,j}+e\left(k\right)}{N+\sum {e\left(k'\right)}}}}$ , где ${\displaystyle F_{k,j}}$ — ПМЧ, ${\displaystyle e\left(k\right)}$ — псевдосчетная функция^[9].

В приведенном выше примере, построенном без применения псевдосчетов, любая последовательность, которая не имеет G в четвёртой позиции или T в пятой позиции, будет иметь вероятность 0.

Последний шаг для создания ПВМ — переход от вероятностей букв в различных положениях мотива к их весам. Чаще всего эти веса вычисляются как логарифмическое отношение правдоподобия с учётом фоновой модели генерации случайной последовательности b. Простейшая фоновая модель предполагает, что каждая буква появляется одинаково часто в любой позиции наборе данных, то есть значение ${\displaystyle P_{k}=1/\vert k\vert }$ для любого символа в алфавите (0.25 для нуклеотидов и 0.05 для аминокислот, соответственно). Фоновая модель не обязательно должна подразумевать равномерное распределение букв: например, при изучения организмов с высоким GC-составом вероятности для C и G могут увеличиться, а для А и Т — соответственно уменьшиться. Таким образом, элементы матрицы весов рассчитываются по формуле^[6]:

${\displaystyle W_{k,j}=\mathrm {ln} \;(P_{k,j}/P_{k}).}$

Применяя эту трансформацию к вероятностной матрице из примера (без учета псевдосчетов) получаем:

${\displaystyle W={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}0.18&0.87&-0.91&-\infty &-\infty &0.87&1.02&-0.22&-0.91\\-0.22&-0.22&-0.91&-\infty &-\infty &-0.22&-0.91&-0.91&-0.22\\-0.91&-0.91&1.02&1.38&-\infty &-0.91&-0.91&0.69&-0.91\\0.47&-0.91&-0.91&-\infty &1.38&-0.91&-0.91&-0.22&0.87\end{bmatrix}}.}$

В случае, если элементы ПВМ рассчитываются с использованием логарифмического отношения правдоподобия, вес последовательности может быть рассчитан как сумма весов для каждой буквы этой последовательности в её позиции. Полученный вес дает представление о том, насколько эта последовательность соответствует мотиву, по которому была создана позиционная матрица весов. Чем выше вероятность того, что последовательность сгенерирована соответствующей вероятностной матрицей, а не случайна, тем выше вес.

Информационное содержание ПВМ показывает, насколько описанное в ней распределение букв в позициях отличается от равномерного распределения. Собственная информация для каждого символа ${\displaystyle i}$ в позиции ${\displaystyle j}$ мотива, равна:

${\displaystyle -\log(p_{i,j})}$

Ожидаемая (средняя) собственная информация для этого элемента равна:

${\displaystyle -p_{i,j}\cdot \log(p_{i,j})}$

Информационное содержание всей матрицы равна сумме всех ожидаемых средних собственных информаций каждого элемента матрицы. Информационное содержание ПВМ в случае с неравномерным фоновым распределением рассчитывается по формуле:

${\displaystyle \textstyle -\sum _{i,j}p_{i,j}\cdot \log(p_{i,j}/p_{j}),}$ где ${\displaystyle p_{j}}$ — фоновая частота для данного символа.

Информационное содержание соотносится с расстоянием Кульбака — Лейблера или относительной энтропией. Однако, при использовании алгоритма PSSM для поиска геномных последовательностей (см. Ниже) такая равномерная коррекция может привести к переоценке важности различных оснований в мотиве из-за неравномерного распределения n-mers в реальных геномах, ведущих к значительно большему числу ложных срабатываний^[10].

ПВМ широко применяются для анализа нуклеотидных и белковых последовательностей. Прежде всего, они используются для поиска специфических сайтов и мотивов. Например, алгоритм MATCH^[11] способен искать в последовательностях ДНК потенциальные сайты связывания транскрипционных факторов. Аналогичные подходы используются для белков^[12]. Помимо поиска функциональных доменов, с помощью ПВМ можно предсказывать различные свойства белков, такие как вторичная структура^[13][14][15], их доступность для растворителя^[16][17], контакты в структуре^[18]. Помимо поиска мотивов, ПВМ, построенные по множественному выравниванию, используются для описания семейств белков. Существуют базы ПВМ, с помощью которых можно определять принадлежность интересующего белка к известным семействам. Также совершенствуются методы построения и использования ПВМ. Например, был разработан способ создания ПВМ без использования больших множественных выравниваний белков, что значительно ускоряет расчеты при наличии большого массива исходных данных^[19]. Кроме того, существует подход с использованием множественных ПВМ для описания семейств белков: в таком случае строится не одна, а много матриц с использованием разных неблизких (чтобы избежать смещения) белков семейства.

Существуют различные алгоритмы для сканирования совпадений PWM в последовательностях. Одним из примеров является алгоритм MATCH, который был реализован в ModuleMaster. Более сложные алгоритмы для быстрого поиска в базе данных с помощью нуклеотидов, а также PWM / PSSM аминокислот внедрены в программное обеспечение possumsearch и описаны Beckstette, et al. (2006 год)^[20].

Так же, среди наиболее известных алгоритмов, присутствуют MEME и Gibbs^[1].

Готовой реализацией ПВМ можно воспользоваться на языках программирования Python (пакет BioPython) и R (библиотека seqLogo).

#install if necessary
source("http://bioconductor.org/biocLite.R")
biocLite("seqLogo")
 
library(seqLogo)
 
a <- c(0, 4, 4, 0, 3, 7, 4, 3, 5, 4, 2, 0, 0, 4)
c <- c(3, 0, 4, 8, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 4)
g <- c(2, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 6, 8, 5, 0)
t <- c(3, 1, 0, 0, 5, 1, 4, 2, 2, 4, 0, 0, 1, 0)
 
df <- data.frame(a,c,g,t)
df
   a c g t
1  0 3 2 3
2  4 0 3 1
3  4 4 0 0
4  0 8 0 0
5  3 0 0 5
6  7 0 0 1
7  4 0 0 4
8  3 3 0 2
9  5 0 1 2
10 4 0 0 4
11 2 0 6 0
12 0 0 8 0
13 0 2 5 1
14 4 4 0 0
 
#define function that divides the frequency by the row sum i.e. proportions
proportion <- function(x){
   rs <- sum(x);
   return(x / rs);
}
 
#create position weight matrix
mef2 <- apply(df, 1, proportion)
mef2 <- makePWM(mef2)
seqLogo(mef2)