Покрытие множества

Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Обычно покрытия рассматривается в общей топологии, где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств. В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами^[1].

• Пусть дано множество ${\displaystyle X}$. Семейство множеств ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ называется покрытием ${\displaystyle X}$, если

${\displaystyle X\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

• Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ топология. Тогда семейство открытых множеств ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}\subseteq {\mathcal {T}}}$ называется открытым покрытием множества ${\displaystyle Y\subseteq X}$, если

${\displaystyle Y\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

• Если ${\displaystyle C}$ — покрытие множества ${\displaystyle Y}$, то любое подмножество ${\displaystyle D\subset C}$, также являющееся покрытием ${\displaystyle Y}$, называется подпокры́тием.
• Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие ${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$ вписано в покрытие ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$, если

${\displaystyle \forall \beta \in B\;\exists \alpha \in A}$ такое, что ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

• Покрытие ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ множества ${\displaystyle Y}$ называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки ${\displaystyle y\in Y}$ существует окрестность ${\displaystyle U\ni y}$, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов ${\displaystyle C}$, то есть множество ${\displaystyle \{\alpha \in A\mid U_{\alpha }\cap U\not =\varnothing \}}$ конечно.
• Покрытие ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ множества ${\displaystyle Y}$ называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством ${\displaystyle U\in C}$ открыто в ${\displaystyle U}$, открыто и в ${\displaystyle Y}$.
• ${\displaystyle Y}$ называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
• ${\displaystyle Y}$ называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

• Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Карта (математика)
• Нерв покрытия
• Размерность Лебега