Поле разложения

Перейти к навигации Перейти к поиску

По́ле разложе́ния многочлена p над полем $K$ — наименьшее расширение $L$ поля $K,$ над которым $p$ разлагается в произведение линейных множителей:

p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),

где

x_{1},\dots ,x_{n}\in L\supseteq K.

При этом $L=K(x_{1},\dots ,x_{n}),$ то есть это максимально возможное поле, все элементы где могут быть образованы сложением и умножением элементов поля $K$ и чисел $x_{1},\dots ,x_{n}$ как друг с другом, так и между собой. Поэтому о поле $L$ разложения говорят как о расширении, полученном присоединением к $K$ всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов $p_{i}(x),i\in I$ — такого расширения L, что каждый p_i разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями p_i. Поле разложения конечного множества многочленов p₁, p₂, …, p_n, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p₁p₂…p_n.

Поля разложения являются нормальными расширениями. Более того, каждое нормальное расширение можно представить как поле разложения некоторого семейства многочленов.

Свойства

Поле разложения конечного семейства многочленов является конечным алгебраическим расширением поля $K$ .
Поле разложения многочлена существует для любого семейства многочлена p_i и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.

Примеры

Если степень многочлена $p$ не превосходит $1$ , то $L=K$ .
Поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ служит полем разложения многочлена $x^{2}+1$ над полем $\mathbb {R}$ вещественных чисел.
Любое конечное поле $GF(q)$ , где $q=p^{n}$ , есть поле разложения многочлена $x^{q}-x$ над простым подполем $GF(p)\subset GF(q)$ .

Литература

Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

Похожие исследовательские статьи

Многочле́н — фундаментальное понятие в алгебре и математическом анализе. В простейшем случае многочленом называется функция вещественной или комплексной переменной $\text{[math]}$ следующего вида:

\text{[math]}

, где

\text{[math]}

— фиксированные коэффициенты, причём

\text{[math]}

Алгебраически замкнутое поле — поле $\text{[math]}$ , в котором всякий многочлен ненулевой степени над $\text{[math]}$ имеет хотя бы один корень.

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.

Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов; это число называется поря́дком поля.

Алгоритм Адлемана — первый субэкспоненциальный алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Алгоритм был предложен Леонардом Максом Адлеманом в 1979 году. Леонард Макс Адлеман — американский учёный-теоретик в области компьютерных наук, профессор компьютерных наук и молекулярной биологии в Университете Южной Калифорнии. Он известен как соавтор системы шифрования RSA и ДНК-вычислений. RSA широко используется в приложениях компьютерной безопасности, включая протокол HTTPS.

Расшире́ние по́ля $\text{[math]}$ — поле $\text{[math]}$ , содержащее данное поле $\text{[math]}$ в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Многочленом $\text{[math]}$ над конечным полем $\text{[math]}$ называется формальная сумма вида

\text{[math]}

Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p₁ ⋯ p_n (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.

<span class="mw-page-title-main">Корни из единицы</span> комплексное число, натуральная степень которого равна единице

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ . Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена $\text{[math]}$ не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика $\text{[math]}$ которого не является делителем степени $\text{[math]}$ многочлена.

Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей.

Алгоритм Берлекэмпа — алгоритм, предназначенный для факторизации унитарных многочленов над конечным полем. Разработан Элвином Берлекэмпом в 1967 году. Может использоваться также для проверки неприводимости многочленов над конечными полями. Основная идея алгоритма заключается в возможности представления исходного многочлена в виде произведения наибольших общих делителей самого многочлена и некоторых многочленов, которые с точностью до свободного члена являются $\text{[math]}$ -разлагающими.

Алгоритм Берлекэмпа — Рабина — вероятностный метод нахождения корней многочленов над полем $\text{[math]}$ с полиномиальной сложностью. Метод был описан американским математиком Элвином Берлекэмпом в 1970 году в качестве побочного к алгоритму факторизации многочленов над конечными полями и позже был доработан Михаэлем Рабином для случая произвольных конечных полей. Изначальная версия алгоритма, предложенная Берлекэмпом в 1967 году, не была полиномиальной. Опубликованная в 1970 году на основе результатов Цассенхауза версия алгоритма работала с большими значениями $\text{[math]}$ , в ней заглавный метод использовался в качестве вспомогательного. На момент публикации метод был распространён в профессиональной среде, однако редко встречался в литературе.

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

Мера Малера $\text{[math]}$ для многочлена $\text{[math]}$ с комплексными коэффициентами определяется как

\text{[math]}

Степень трансцендентности — максимальное число алгебраически независимых элементов в расширении поля. Степень трансцендентности даёт возможность измерения величины расширения.

Разложение простых идеалов в расширениях Галуа — разложение простых идеалов $\text{[math]}$ кольца целых $\text{[math]}$ поля алгебраических чисел $\text{[math]}$ в кольце целых $\text{[math]}$ расширении Галуа $\text{[math]}$ с группой Галуа $\text{[math]}$ . Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту, в связи с чем фигурирует под названием теория Гильберта.

Обратная задача Галуа — открытая проблема теории Галуа, поставленная в начале XIX века: является ли любая конечная группа группой Галуа некоторого расширения Галуа рациональных чисел $\text{[math]}$ ..

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.