Полиамонд

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Полиамонд (англ. polyiamond)[1][2] или треуго́льный мо́нстр (англ. triangular animal)[3][4][5] — геометрическая фигура в виде многоугольника, составленного из нескольких одинаковых равносторонних треугольников, примыкающих друг к другу по рёбрам. Полиамонды можно рассматривать как конечные подмножества треугольного паркета со связной внутренностью.

Наряду с полимино, полиамонды широко распространены в занимательной математике, в частности, в задачах на составление фигур[6][7][8], на замощение плоскости[9].

Количество

Одним из основных вопросов о полиамондах является вопрос о количестве полиамондов, которые можно составить из данного числа треугольников. Как и в случае полимино, различают «свободные» («двусторонние») полиамонды, для которых повороты и отражения не считаются различными формами; «односторонние», когда фигуры при зеркальных отражениях считаются различными, и «фиксированные», различаемые также и при поворотах.

В следующей таблице указано число n-амондов разных типов вплоть до n = 12.

nполиамондыпсевдополиамонды[10][11]
двусторонниеодносторонниефиксированныедвусторонние
всес отверстиямибез отверстий
A000577A070764A070765A006534A001420(нет)
1101121
2101133
31011611
430341475
5404636-
6120121994-
7240244325040 609[11]
866066120675-
916011593071838-
1044844448665053-
111186251161233614 016-
1233341083226658839 169-

Другие последовательности OEIS, связанные с полиамондами:

  • Последовательность A096361 в OEIS: площадь (в треугольниках), покрываемая всеми n-амондами;
  • Последовательность A030223 в OEIS: число n-амондов с зеркальной симметрией;
  • Последовательность A030224 в OEIS: число n-амондов без зеркальной симметрии.

Примеры

Название Число фигур Фигуры
Мониамонд (мономонд) 1
Диамонд 1
Триамонд 1
Тетриамонд 3
Пентиамонд 4
Гексиамонд 12

«Полоса»[3] (bar)[1][4]

«Посох» (crook)

«Корона» (crown)

«Сфинкс» (sphinx)

«Змея» (snake)

«Яхта» (yacht)

«Погон» (chevron)

«Указательный столб» (signpost)

«Рак» (lobster)

«Крюк» (hook)

«Шестиугольник» (hexagon)

«Бабочка» (butterfly)

Терминология

Фрэнк Харари в своих публикациях называл n-мино «n-клеточными животными». В статье «Шахматные доски и полимино» в журнале American Mathematical Monthly Соломон Голомб предложил использовать треугольное или шестиугольное замощение вместо квадратного паркета, введя термины «треугольные монстры» и «шестиугольные монстры» для обозначения соответствующих полиформ[4].

Термин «полиамонд» был придуман математиком Т. О’Берном из Глазго по аналогии с «полимино» и одним из английских названий ромба — диамонд (англ. diamond). Поскольку диамонд можно составить из двух равносторонних треугольников, то фигуру из трёх равносторонних треугольников О’Берн назвал триамондом, из четырёх — тетриамондом и т. д. О’Берн также придумал большинство названий гексиамондов[2][3][4] (см. табл.)

См. также

Примечания

  1. 1 2 Weisstein, Eric W. Polyiamond (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. 1 2 Гарднер М. Математические новеллы / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. Я. А. Смородинского. — М.: Мир, 1974. — С. 20 — 31.
  3. 1 2 3 Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — С. 143 — 147. — 207 с.
  4. 1 2 3 4 Golomb, S.W. Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings (англ.). — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994. — P. 90 — 93.
  5. George E. Martin. Polyominoes: a guide to puzzles and problems in tiling (англ.). — MAA, 1996. — ISBN 0-88385-501-1. The Animals.
  6. Polyiamonds. The Poly Pages. Дата обращения: 9 октября 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
  7. David Goodger. An Introduction to Polyiamonds. Дата обращения: 9 октября 2015. Архивировано 15 октября 2015 года.
  8. David Goodger. Polyiamonds: Puzzles & Solutions. Дата обращения: 9 октября 2015. Архивировано 15 октября 2015 года.
  9. Glenn C. Rhoads. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds. Journal of Computational and Applied Mathematics. Дата обращения: 9 октября 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года.
  10. Col. George Sicherman. Galvagni Figures for Polymings. Polyform Curiosities. Дата обращения: 10 октября 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
  11. 1 2 Peter Esser. Pseudo Polyiamonds. Yahoo Groups (25 ноября 2010). Дата обращения: 10 октября 2015. Архивировано 6 марта 2016 года.

Ссылки