Полуалгебраическое множество

Полуалгебраическое множество — подмножество, определяемое системой алгебраических неравенств. Например, полукруг является полуалгебраическим множеством, поскольку он может быть определён системой

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}\leqslant 1,\\y\geqslant 0.\end{aligned}}\right.}$

Пусть ${\displaystyle R}$ есть поле вещественных чисел, или, более общо, замкнутое вещественное поле^[англ.].

Множество ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle R^{n}}$ полуалгебраическое, если оно определяется конечной системой полиномиальных уравнений вида ${\displaystyle P(x_{1},...,x_{n})=0}$ и неравенств вида ${\displaystyle Q(x_{1},...,x_{n})>0}$, или любое конечное объединение таких множеств.

• Полуалгебраическая функция — функция с полуалгебраическим графиком.

• Конечные объединения и пересечения полуалгебраических множеств полуалгебраичны. (То же верно и для алгебраических подмногообразий.)
• Дополнения полуалгебраических множеств снова полуалгебраичны.
• (Теорема Зайденберга — Тарского) Проекция полуалгебраического множества полуалгебраична.
• Полуалгебраическое множество на плотном открытом подмножестве является локально алгебраическим подмногообразием.
  • Размерность полуалгебраического множества определяется как максимальная размерность таких локальных многообразий.

• Экзистенциальная теория вещественных чисел

• Bochnak, J.; Coste, M.; Roy, M.-F. (1998), Real algebraic geometry, Berlin: Springer-Verlag.
• Bierstone, Edward; Milman, Pierre D. (1988), "Semianalytic and subanalytic sets", Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 67: 5—42, doi:10.1007/BF02699126 {{citation}}: Указан более чем один параметр |DOI= and |doi= () Архивная копия от 8 августа 2014 на Wayback Machine.
• van den Dries, L. (1998), Tame topology and o-minimal structures, Cambridge University Press.

• Страница PlanetMath Архивная копия от 5 декабря 2017 на Wayback Machine