Полупрямое произведение

Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$, и действию ${\displaystyle \phi }$ группы ${\displaystyle H}$ на группе ${\displaystyle N}$ автоморфизмами.

Полупрямое произведение групп ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle H}$ над ${\displaystyle \phi }$ обычно обозначается ${\displaystyle N\rtimes _{\phi }H}$.

Пусть задано действие группы ${\displaystyle H}$ на пространстве группы ${\displaystyle N}$ с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм ${\displaystyle \phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)}$ группы ${\displaystyle H}$ в группу автоморфизмов группы ${\displaystyle N}$. Автоморфизм группы ${\displaystyle N}$, соответствующий элементу ${\displaystyle h}$ из ${\displaystyle H}$ при гомоморфизме ${\displaystyle \phi }$, обозначим ${\displaystyle \phi _{h}}$. За множество элементов полупрямого произведения ${\displaystyle G=N\rtimes _{\phi }H}$ групп ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$ над гомоморфизмом ${\displaystyle \phi }$ — берётся прямое произведение ${\displaystyle N\times H}$. Бинарная операция ${\displaystyle *}$ на ${\displaystyle G}$ определяется по следующему правилу:

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\cdot \phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}\cdot h_{2})}$ для любых ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$, ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$.

1. Группы ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$ естественно вложены в ${\displaystyle G}$, причём ${\displaystyle N}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$.
2. Каждый элемент ${\displaystyle g\in G}$ однозначно разложим в произведение ${\displaystyle g=nh}$, где ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle n}$ — элементы групп ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно. (Это свойство оправдывает название группы ${\displaystyle G}$ как полупрямого произведения групп ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$.)
3. Заданное действие ${\displaystyle \phi }$ группы ${\displaystyle H}$ на группе ${\displaystyle N}$ совпадает с действием ${\displaystyle H}$ на ${\displaystyle N}$ сопряжениями (в группе ${\displaystyle G}$).

Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе ${\displaystyle G}$ (свойство универсальности полупрямого произведения групп).

Группа вычетов по модулю 4 (${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$) действует на ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:

${\displaystyle \phi _{h}(n)=a^{h}n}$, где ${\displaystyle a}$ — фиксированный ненулевой элемент ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$, ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{5}}$.

Соответственно, на множестве ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}}$ можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:

1. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+n_{2},h_{1}+h_{2})}$, где ${\displaystyle a=1}$;
2. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$, где ${\displaystyle {a=4\equiv -1}{\pmod {5}}}$;
3. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+2^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$;
4. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+3^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$;

Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).

Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.