Поризм Понселе

Поризм Понселе — классическая теорема проективной геометрии. Назван в честь Жан-Виктора Понселе.

Поризм Понселе был открыт французским математиком Жан-Виктором Понселе в 1812—1814 годах, когда он находился в плену в Саратове. В саратовском плену он написал (в основном) свой трактат о проективных свойствах фигур, а также трактат по аналитической геометрии (семь тетрадей, изданных впоследствии — в 1862—1864 годах — под заглавием «Applications d’Analyse et de Géometrie»).^[1]

Частный случай для треугольника можно вывести из теоремы Эйлера.

Пусть ${\displaystyle A_{1}A_{2}\ldots A_{n}}$ — многоугольник с ${\displaystyle n}$ различными вершинами, вписанный в конику ${\displaystyle C}$ и описанный около другой коники ${\displaystyle \Gamma }$. Тогда для любых точек ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$ коники ${\displaystyle C}$, таких, что ${\displaystyle B_{1}\neq B_{2}}$ и ${\displaystyle B_{1}B_{2}}$ касается ${\displaystyle \Gamma }$, существует многоугольник ${\displaystyle B_{1}B_{2}\ldots B_{n}}$, вписанный в ${\displaystyle C}$ и описанный около ${\displaystyle \Gamma }$.^[2]

• Если коника является окружностью, многоугольники, которые вписаны в один круг и описанные около другого называются бицентрическими многоугольниками. Подробнее — в ^{[3]:p. 94}.

Пусть ${\displaystyle f}$ — окружность ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$, а ${\displaystyle g}$ — эллипс ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=1}$. Тогда условие на зацикливание цепи задаётся в терминах ряда Тейлора функции ${\displaystyle {\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots }$. (Каждый коэффициент ${\displaystyle c_{i}}$ вычисляется через ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, например, ${\displaystyle c_{0}=ab}$.) А именно:

1. Цепь Понселе пары ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ зацикливается за ${\displaystyle 2m+1}$ шагов тогда и только тогда, когда

   ${\displaystyle {\begin{vmatrix}c_{2}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix}}=0.}$

2. Цепь Понселе пары ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ зацикливается за ${\displaystyle 2m}$ шагов тогда и только тогда, когда^[4]

   ${\displaystyle {\begin{vmatrix}c_{3}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix}}=0.}$

Пусть ${\displaystyle A_{0}A_{1}\dots }$ — цепь Понселе. Обозначим через ${\displaystyle \ell _{i}}$ прямую ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$ и рассмотрим точки пересечения ${\displaystyle B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j}}$. Тогда для любого целого ${\displaystyle k}$

1. Все точки ${\displaystyle B_{i,i+k}}$ лежат на одном коническом сечении.
2. Все точки ${\displaystyle B_{i,k-i}}$ лежат на одном коническом сечении.

Алгебраическое доказательство теоремы Понселе опирается на тот факт, что пересечение двух квадрик в трёхмерном проективном пространстве — это эллиптическая кривая. В 1972 году Майлз Рид в своей диссертации доказал обобщение этого факта. Именно, теорема Рида утверждает, что многообразие, параметризующее линейные ${\displaystyle (n-1)}$-мерные подпространства в ${\displaystyle (2n+1)}$-мерном проективном пространстве, лежащие на пересечении двух ${\displaystyle 2n}$-мерных квадрик (при условии, что это пересечение неособо), есть якобиево многообразие некоторой гиперэллиптической кривой (разветвлённого двойного накрытия рациональной кривой).^[5] Эту гиперэллиптическую кривую можно построить как геометрическое место ${\displaystyle (n-1)}$-мерных подпространств на пересечении двух квадрик, которые пересекают некоторое фиксированное ${\displaystyle (n-1)}$-мерное подпространство, также лежащее на пересечении квадрик, по подпространству размерности не менее ${\displaystyle n-2}$. Если эти квадрики приведены к главным осям (то есть имеют однородные уравнения

для некоторых коэффициентов ${\displaystyle b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1}}$), то эта кривая бирационально изоморфна кривой, заданной уравнением

${\displaystyle y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\dots (x-b_{2n+1}).}$

Донаги заметил, что закон сложения на таком многообразии можно определять геометрически. Именно, если ${\displaystyle Q}$ — какая-то квадрика из пучка, порождённого нашими двумя квадриками (обозначим их за ${\displaystyle Q_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{2}}$), ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$ — два ${\displaystyle n}$-мерных подпространства, лежащих на ${\displaystyle Q}$ и относящихся к одному и тому же связному семейству, и ${\displaystyle E_{i}}$ высекает на пересечении двух квадрик два ${\displaystyle (n-1)}$-мерных подпространства ${\displaystyle \ell _{i1}}$ и ${\displaystyle \ell _{i2}}$, то сложение однозначно определяется правилом ${\displaystyle \ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}}$ (и выбором нуля).^[6] К примеру, если ${\displaystyle n=1}$, то сложение точек на эллиптической кривой определяется следующим образом. Выберем точку ${\displaystyle O}$ в качестве нуля. Для того, чтобы сложить точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, проведём прямую ${\displaystyle AB}$, и рассмотрим квадрику из пучка, на которой эта прямая лежит (такая квадрика единственна и может быть построена, например, как объединение секущих прямой ${\displaystyle AB}$, дважды пересекающих эллиптическую кривую). Прямая ${\displaystyle AB}$, будучи образующей двумерной квадрики, принадлежит к однопараметрическому связному семейству. Выберем из этого семейства прямую ${\displaystyle p}$, проходящую через точку ${\displaystyle O}$. Вторая точка пересечения прямой ${\displaystyle p}$ с эллиптической кривой и будет суммой искомой суммой ${\displaystyle A+B}$.

• Поризм Штейнера — похожее утверждения для цепей окружностей.
• Теорема Эйлера (планиметрия) позволяет доказать частный случай поризма Понселе для ${\displaystyle n=3}$.

• Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. Poncelet’s closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.
• И. Д. Жижилкин, "Инверсия", издательство МЦНМО (2009).

• Жижилкин, "Инверсия"

• Живой чертёж.

• Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.

• Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Лекция 29 // Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.
• В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144.
• Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Архивная копия от 27 апреля 2016 на Wayback Machine, Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна.