Порядок Деорнуа

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Патрик Деорнуа[англ.], первооткрыватель порядка Деорнуа

Порядок Деорнуа — определённый левоинвариантный линейный порядок на группе кос.

Определение

Имеется множество различных подходов к определению порядка Деорнуа. Наиболее элементарный состоит в следующем.

Общий вид положительной по Деорнуа косы

Обозначим символами образующие Артина группы кос из нитей. Коса называется положительной по Деорнуа (или -положительной), если она может быть задана таким непустым артиновским словом, что образующая Артина с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом входит в него только в положительных степенях[1]. Аналогично определяются отрицательные по Деорнуа косы (или -отрицательные).

Например, коса допускает запись , поэтому является положительной по Деорнуа.

По определению порядка Деорнуа, коса из нитей меньше косы из того же числа нитей, что обозначается символом или , если либо , либо произведение косы , обратной к косе , и косы является положительной по Деорнуа[2]. Во втором случае при обозначении используется строгое неравенство: или .

Например, для любой положительной по Деорнуа косы выполняется следующая цепочка неравенств:

.

Кроме того, в группе кос выполняются неравенства:

Свойства

Множество положительных по Деорнуа кос из заданного числа нитей является положительным конусом на группе кос . Иными словами, выполняются следующие свойства[3][4]:

  1. Любая -положительная коса нетривиальна (ацикличность);
  2. Любая нетривиальная коса является либо -положительной, либо -отрицательной (свойство сравнения).

Таким образом, для каждого числа нитей отношение является левоинвариантным линейным порядком на группе .

Например, порядок Деорнуа на бесконечной циклической группе изоморфен стандартному линейному порядку на множестве целых чисел.

Глобальные свойства

Порядок Деорнуа не имеет ни максимальных, не минимальных элементов[4]. Так, из неравенств для любой косы следуют неравенства .

Коса является наименьшим положительным по Деорнуа элементом группы [4]. Таким образом, упорядоченное множество является дискретным[5]. А именно, непосредственным преемником косы является коса , а непосредственным предшественником — коса .

При упорядоченная группа не является архимедовой[6]. Иными словами, существуют такие , что неравенство выполняется для любого . Например, .

При упорядоченная группа не является конрадовой. Иными словами, существуют такие , что неравенство выполняется для любого . Например, данное неравенство выполняется при и [7].

Локальные свойства

Порядок Деорнуа в общем случае не является правоинвариантным[8]. Так, неравенство не обязательно влечет неравенство . Например, в группе при и имеем и .

Последнее неравенство также эквивалентно неравенству . В частности, коса, сопряженная к положительной по Деорнуа косе, может быть отрицательной по Деорнуа.

При сопряжении положительных кос, однако, свойство положительности по Деорнуа сохраняется. А именно, порядок Деорнуа обладает так называемым свойством подслова[9][10], которое заключается в том, что все косы вида положительны по Деорнуа. Или, что то же самое, выполняется неравенство . В частности, любая квазиположительная коса положительна по Деорнуа.

Неравенство не обязательно влечет неравенство . Например, в группе при и обе косы и являются положительными по Деорнуа[8].

Количество положительных букв в артиновском слове в общем случае не коррелирует с порядком Деорнуа[7]. Так, существует такая коса , содержащая хотя бы одну букву и являющаяся положительной по Деорнуа, что для любого коса , допускающая запись из хотя бы букв , строго меньше (в порядке Деорнуа) косы , содержащей всего одну такую букву. Примером такой косы является .

Антье Деорнуа

Отсутствие при свойства архимедовости порядка Деорнуа на группе кос означает, что существует такая коса , что попарно непересекающиеся интервалы

,

где , не покрывают всю группу . Тем не менее, если  — центральная коса, то подобные интервалы образуют разбиение группы кос[4].

Такое единственное , что выполняется неравенство

,

называется антье Деорнуа косы и обозначается символами или [11].

Антье Деорнуа задаёт функцию и является квазихарактером на группе кос, дефект которого равен единице. Иными словами, для любых выполняются неравенства[12]:

.

Примечания

Литература

  • Кассель, К., Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
  • Dehornoy, P., Dynnikov, I., Rolfsen, D., Wiest, B. Ordering braids (англ.). — Providence, R. I.: American Mathematical Society, 2008. — Vol. 148. — 323 p. — (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 978-0-8218-4431-1.

Ссылки