Порядок группы

Порядок группы — мощность носителя группы, то есть, для конечных групп — количество элементов группы. Обозначается ${\displaystyle |G|}$ или ${\displaystyle \operatorname {Ord} (G)}$.

Для конечных групп связь между порядком группы и её подгруппы устанавливает теорема Лагранжа: порядок группы ${\displaystyle G}$ равен порядку любой её подгруппы ${\displaystyle H\subseteq G}$, умноженному на её индекс — количество её левых или правых классов смежности:

${\displaystyle |G|=|H|\cdot [G:H]}$.

Важным результатом о порядках групп является уравнение класса, связывающее порядок конечной группы ${\displaystyle G}$ с порядком её центра ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$ и размерами её нетривиальных классов сопряжённости:

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}}$,

где ${\displaystyle d_{i}}$ — размеры нетривиальных классов сопряжённости. Например, центр симметрической группы ${\displaystyle S_{3}}$ — просто тривиальная группа из одного нейтрального элемента ${\displaystyle e}$, и уравнение превращается в ${\displaystyle |S_{3}|=1+2+3}$.

Порядок элементов конечных групп делит её групповой порядок. Из теоретико-групповой теоремы Коши следует, что порядок группы ${\displaystyle G}$ является степенью целого простого числа ${\displaystyle p}$ в том и только в том случае, когда порядок любого из её элементов является некоторой степенью ${\displaystyle p}$^[1].

• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.