Последовательность Люка

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Последовательность Люка — числовая последовательность из семейства пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка — и , удовлетворяющие одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами и :

,
.

Среди последовательностей Люка — числа Фибоначчи () и числа Люка ( (). Некоторые другие последовательности Люка с собственными наименованиями:

  •  — числа Пелля
  •  — числа Пелля — Люка
  •  — числа Мерсенна
  •  — числа Ферма
  •  — числа Якобшталя
  •  — многочлены Чебышёва второго рода
  •  — многочлены Чебышёва первого рода умноженные на 2

Задание и свойства

Характеристическим многочленом последовательностей Люка и является . Его дискриминант предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена:

и

можно использовать для получения явных формул:

и

.

Формулы Виета позволяют также выразить и в виде:

,
.

Дискриминант обращается в нуль при для некоторого числа . При этом выполняется и соответственно:

,
.

Некоторые свойства:

Литература

  • В. П. Паламодов. О многочленах, образующих возвратную последовательность 2-го порядка // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1957. — Вып. 1. — С. 139—147.
  • Грант Аракелян.  Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. — 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.