Последовательный статистический критерий

Последовательный статистический критерий — последовательная статистическая процедура, используемая для проверки статистических гипотез в последовательном анализе.

Пусть наблюдению в статистическом эксперименте доступна случайная величина ${\displaystyle \displaystyle X}$ с неизвестным (полностью или частично) распределением ${\displaystyle \mathbb {P} }$ (формально, в математической нотации, ${\displaystyle X:\Omega \mapsto \mathbb {R} }$, где вероятностное пространство ${\displaystyle \Omega }$ снабжено ${\displaystyle \sigma }$-алгеброй событий ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, и ${\displaystyle \displaystyle X}$ измерима относительно Борелевской ${\displaystyle \sigma }$-алгебры).

Пусть проверяется нулевая гипотеза ${\displaystyle H_{0}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}}$ против альтернативы ${\displaystyle H_{1}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}}$.

На каждом этапе ${\displaystyle i\geq 1}$ статистического эксперимента, независимо от других этапов, наблюдается случайная величина ${\displaystyle \displaystyle X_{i}}$ — копия ${\displaystyle \displaystyle X}$, до тех пор пока ${\displaystyle i\leq \nu }$, где ${\displaystyle \displaystyle \nu }$ — некоторый (случайный) момент остановки. Последовательный статистический критерий — это пара ${\displaystyle (\nu ,\delta )}$, где ${\displaystyle \displaystyle \delta }$ — любая функция от ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{\nu })}$, принимающая значение 0 или 1 (решение, соответственно, в пользу нулевой ${\displaystyle H_{0}}$ или альтернативной ${\displaystyle H_{1}}$ гипотезы).

Этому определению может быть придан формальный смысл с помощью понятия момента остановки относительно последовательности ${\displaystyle \sigma }$-алгебр ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{1},X_{2},\dots X_{n})}$, порожденных случайными величинами ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n}}$, ${\displaystyle n=1,2,\dots }$. Тогда решающая функция ${\displaystyle \displaystyle \delta }$ должна быть измеримой относительно ${\displaystyle \sigma }$-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\nu }}$ событий, предшествующих моменту ${\displaystyle \nu }$: ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\nu }=\{A\in {\mathcal {F}}:A\cap \{\nu \leq n\}\in {\mathcal {F}}_{n}\}}$.

Функция мощности критерия ${\displaystyle (\nu ,\delta )}$ в "точке" ${\displaystyle \mathbb {P} }$ определяется как ${\displaystyle \beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )=\mathbb {P} (\delta =1)}$. Если ${\displaystyle \mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}}$, то ${\displaystyle \beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )}$ называется вероятностью ошибки первого рода (вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна). Если ${\displaystyle \mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}}$, то ${\displaystyle \mathbb {P} (\delta =0)}$ называется вероятностью ошибки второго рода (вероятность принять нулевую гипотезу, когда она неверна).

Рандомизированный последовательный критерий проверки гипотез может быть определен как пара ${\displaystyle \displaystyle (\psi ,\phi )}$, где ${\displaystyle \psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)}$, ${\displaystyle \phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)}$, и ${\displaystyle \psi _{n}=\psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})}$, ${\displaystyle \phi _{n}=\phi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ - (измеримые) функции, принимающие значения между 0 и 1, ${\displaystyle n=1,2,\dots }$. На каждом этапе ${\displaystyle n\geq 1}$ (если эксперимент до него дошел) ${\displaystyle \psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ интерпретируется как вероятность остановится на этом этапе, без проведения дальнейших наблюдений, а ${\displaystyle \phi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ - как вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, если остановка на этом этапе произошла.

${\displaystyle \psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)}$ называется рандомизированным правилом остановки, а ${\displaystyle \phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)}$ - рандомизированным правилом принятия решения.

Если все ${\displaystyle \displaystyle \psi _{n}}$ принимают только значения 0 (продолжение наблюдений) и 1 (остановка), то правило остановки ${\displaystyle \displaystyle \psi }$ определяет нерандомизированный момент остановки ${\displaystyle \nu =\min\{n:\psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})=1\}}$. Аналогично, если все ${\displaystyle \displaystyle \phi _{n}}$ принимают только значения 0 (принятие нулевой гипотезы) и 1 (отвержение нулевой гипотезы), то правило принятия решения ${\displaystyle \displaystyle \phi }$ определяет нерандомизированную решающую функцию: ${\displaystyle \displaystyle \delta =\phi _{n}}$, если ${\displaystyle \displaystyle \psi _{n}=1}$.

Функция мощности критерия ${\displaystyle (\psi ,\phi )}$ в "точке" ${\displaystyle \mathbb {P} }$ определяется как ${\displaystyle \beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1})\psi _{i}\phi _{i}}$, где ${\displaystyle \mathbb {E} }$ - математическое ожидание относительно ${\displaystyle \mathbb {P} }$. Если ${\displaystyle \mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}}$, то ${\displaystyle \beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )}$ - вероятность ошибки первого рода. Если ${\displaystyle \mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}}$, то вероятность ошибки второго рода равна ${\displaystyle \mathbb {P} (\nu <\infty )-\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )}$, где ${\displaystyle \mathbb {P} (\nu <\infty )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1})\psi _{i}}$. Соответственно, средний объем выборки при использовании правила остановки ${\displaystyle \psi }$ определяется как ${\displaystyle E\nu =\sum _{i=1}^{\infty }i\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1})\psi _{i}}$, если ${\displaystyle \mathbb {P} (\nu <\infty )=1}$ (в противном случае ${\displaystyle E\nu =\infty }$).

Последовательный критерий отношения вероятностей (критерий Вальда)

• Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.
• Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.