Постоянная Капрекара

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Постоянная Капрекара — число, равное 6174.

Функция Капрекара

Число 6174 имеет следующую особенность. Выберем любое четырёхзначное число n, больше 1000, в котором не все цифры одинаковы (всюду предполагается использование десятичной системы счисления, если не оговорено иное). Расположим цифры сначала в порядке возрастания, затем в порядке убывания. Вычтем из большего меньшее. Производя перестановки цифр и вычитания, нули следует сохранять. Описанное действие назовём функцией Капрекара K(n). Повторяя этот процесс с получающимися разностями, не более чем за семь шагов получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя.

Это свойство числа 6174 было открыто в 1949 году индийским математиком Д. Р. Капрекаром, в честь которого оно и получило своё название.

Примеры

Для числа 3412:

4321 − 1234 = 3087 →
8730 − 0378 = 8352 →
8532 − 2358 = 6174;

Для числа 1100:

1100 − 0011 = 1089 →
9810 − 0189 = 9621 →
9621 − 1269 = 8352 →
8532 − 2358 = 6174.

Для числа 7641:

7641 − 1467 = 6174.

Другие свойства

6174 — число харшад[1], поскольку оно делится на сумму своих цифр:

6174 = (6 + 1 + 7 + 4) × 343.

6174 — практичное число, так как любое число, меньшее 6174, можно представить в виде суммы разных делителей числа 6174[1][2]. Ближайшие числа с этим свойством — 6160, 6162, 6180, 6188[2][3]. Кроме того, 6174 — число Цумкеллера (англ. Zumkeller number), так как множество делителей числа 6174 можно разбить на два подмножества с равными суммами (7800)[1][4].

Не существует натурального числа, при делении которого на сумму его цифр получается 6174[1][5]. Ближайшие числа с этим свойством — 6123, 6150, 6185, 6189[6].

Число 6174 представимо в виде суммы трёх первых натуральных степеней числа 18[7]:

183 + 182 + 181 = 5832 + 324 + 18 = 6174.

Сумма квадратов простых множителей числа 6174 — точный квадрат[8]:

22 + 32 + 32 + 72 + 72 + 72 = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 132.

Обобщения

Для трёхзначных чисел аналог постоянной Капрекара число 495 (процедура сходится к нему максимум через шесть итераций для любого трёхзначного числа без повторяющихся цифр). Для чисел с бо́льшим, чем 4, числом знаков, преобразование Капрекара в большинстве случаев рано или поздно приводит к циклическим повторениям чисел, но не к неподвижной точке n = K(n). Имеется два шестизначных числа, являющихся неподвижными точками преобразования Капрекара (549 945 и 631 764). Для двух-, пяти- и семизначных чисел неподвижных точек преобразования Капрекара не существует.

Любое число вида 633…331766…664 (где количество цифр в последовательностях шестёрок и троек одинаково) является неподвижной точкой n = K(n).[] Сама постоянная Капрекара тоже является числом этого вида. Однако не любая неподвижная точка может быть записана в таком виде.

Примечания

  1. ↑ 1 2 3 4 6174: facts & properties. Numbers Aplenty: interesting natural numbers and their properties. Дата обращения: 5 ноября 2015. Архивировано 6 марта 2016 года.
  2. ↑ 1 2 Tanya Khovanova. 6174. Number Gossip.
  3. ↑ Последовательность A005153 в OEIS = Practical numbers: positive integers n such that every k <= sigma(n) is a sum of distinct divisors of n. Also called panarithmic numbers.
  4. ↑ Последовательность A083207 в OEIS = Zumkeller numbers: numbers n whose divisors can be partitioned into two disjoint sets whose sums are both sigma(n)/2 // Фрагмент: 6162, 6168, 6174, 6180, 6186
  5. ↑ inconsummate numbers. Numbers Aplenty. Дата обращения: 5 ноября 2015. Архивировано 6 сентября 2015 года.
  6. ↑ Последовательность A003635 в OEIS = Inconsummate numbers in base 10: no number is this multiple of the sum of its digits (in base 10)
  7. ↑ Последовательность A027444 в OEIS = a(n) = n^3 + n^2 + n
  8. ↑ Последовательность A134605 в OEIS = Composite numbers such that the square root of the sum of squares of their prime factors (with multiplicity) is an integer
Ошибка в сносках: Тег <ref> с именем «wells», определённый в <references>, не используется в предшествующем тексте.

Литература

  • Ле Лионне, Франсуа. 6174 // Les nombres remarquables (фр.). — Hermann[фр.], 1983. — ISBN 2705614079.
  • GrrlScientist. 6174 (Kaprekar's Constant) (12 декабря 2011).

См. также

Литература

Ссылки

  • Последовательность A099009 в OEIS: последовательность неподвижных точек функции Капрекара = Fixed points of the Kaprekar mapping
  • Weisstein, Eric W. Kaprekar Routine (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Yutaka Nishiyama. Mysterious number 6174. plus.maths.org (1 марта 2006).