Постоянная Коупленда — Эрдёша

Постоянная Коупленда — Эрдёша — вещественное число, строящееся как конкатенация «0,» («ноль целых…») со сцепленной последовательностью возрастающих простых чисел в десятичной записи^[1]:

0,235711131719232931374143…

Постоянная иррациональна; данный факт можно доказать с помощью теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии или постулата Бертрана^[2] или теоремой Рамаре (гласящей, что любое чётное целое число является суммой не более шести простых чисел). Данный факт также следует из того, что данная постоянная — нормальное число; нормальность постоянной в десятичной записи доказана в 1949 году Артуром Коуплендом (англ. Arthur Herbert Copeland) и Палом Эрдёшом.

Любая постоянная, образованная конкатенацией «0,» со всеми простыми числами в арифметической прогрессии ${\displaystyle dn+a}$, где ${\displaystyle a}$ — взаимно простое число с числом ${\displaystyle d}$ и числом 10, будет иррациональной. К примеру, таковы простые числа принимающие форму ${\displaystyle 4n+1}$ или ${\displaystyle 8n+1}$. Согласно теореме Дирихле, арифметическая прогрессия ${\displaystyle dn\cdot 10^{m}+a}$ содержит простые числа для любого числа ${\displaystyle m}$, и эти простые числа также находятся в ${\displaystyle cd+a}$, следовательно среди этих конкатенацированных простых чисел будет содержаться любое желаемое количество нулей, следующих друг за другом.

Постоянная Коупленда — Эрдёша может быть выражена как:

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}}$,

где ${\displaystyle p_{n}}$ — это ${\displaystyle n}$-е простое число.

Непрерывная дробь числа — [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]^[3].

Для любой позиционной системы счисления с основанием ${\displaystyle b}$ число:

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b^{-p_{n}}}$,

которое может быть записано в этой системе счисления как 0,0110101000101000101…, где ${\displaystyle n}$-я цифра — это 1, если ${\displaystyle n}$ — простое число, является иррациональным^[4].

Постоянная Чемпернауна — конкатенация всех положительных целых чисел, а не только простых чисел.

• Weisstein, Eric W. Copeland-Erdos Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• G. H. Hardy, E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. — 5^{th ed.}. — Oxford University Press, 1938. — ISBN 0-19-853171-0.