Потенциальная ступенька

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Потенциальная энергия как функция координаты: сплошная линия — простейшая модель ступеньки со скачком потенциала, пунктирная — модель, имитирующая размытие.

Потенциа́льная ступе́нька — профиль потенциальной энергии частицы , характеризующийся резким переходом от одного (принимаемого за нулевое, для удобства) значения к другому (). Такие профили анализируются в квантовой механике, при этом коэффициент прохождения частицы с полной энергией оказывается отличным от единицы.

Простейшим профилем потенциала указанного типа является скачок:

при и при .

Для учёта некоторого размытия перехода используется выражение

,

моделирующее монотонное возрастание от 0 на до на .

Потенциальная ступенька может формироваться, например, координатной зависимостью энергии дна зоны проводимости полупроводниковой гетероструктуры, когда из-за разности сродства к электрону двух материалов на их стыке возникает достаточно резкий скачок .

Модель скачкообразной ступеньки

Стационарное уравнение Шрёдингера для скачкообразной потенциальной ступеньки имеет вид:

для ,

и то же самое без слагаемого с для . Здесь — масса частицы, редуцированная постоянная Планка, а волновая функция частицы. Предполагается, что частица движется в сторону положительных . Далее все символы с цифрой 1 относятся к области , а с цифрой 2 — к .

Считая, что , волновую функцию для областей 1 () и 2 () запишем как

,

где

.

Из требования непрерывности волновой функции и её производной в точке получим

,

что даёт

.

В итоге имеем коэффициенты отражения (надбарьерного отражения) и прохождения:

.

Этот результат принципиально отличается от классического: в классической механике никакого отражения в таком случае нет, а независимо от .

Модель размытой ступеньки

Стационарное уравнение Шрёдингера для размытой потенциальной ступеньки (степень размытия задаётся параметром : чем он меньше, тем ближе потенциал к скачкообразному) записывается:

Если обозначить и , то оно примет вид

Если сделать замену переменной

то, с учётом обозначения , приведётся к виду:

Так как точки и являются особыми точкам данного уравнения, то естественно искать решение в виде:

Если выбрать и , то уравнение приведётся к гипергеометрическому уравнению Гаусса:

Выбирая решения с правильной асимптотикой, получим

Тогда можно получить коэффициенты отражения и прохождения. В случае :

Таким образом, наблюдается полное отражение. В случае с учётом обозначения :

В пределе

,

что совпадает с результатом предыдущего раздела, если вернуться к изначальным переменным.

Литература

  • З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.