Поток однородных событий

Пото́к одноро́дных собы́тий — случайная последовательность событий, упорядоченных по неубыванию моментов времени. Если данный момент времени совпадает с одним или несколькими событиями данной последовательности, то говорят, что в этот момент произошло соответствующее число событий потока.

Понятие потока однородных событий возникло в математике как отражение различных физических, социальных или экономических явлений, например: потока вызовов на АТС, потока транспортных единиц, потока клиентов и так далее. Теорию потока однородных событий, которая легла в основу теории массового обслуживания, разработал советский математик А. Я. Хинчин.^[1]

Любая фиксированная последовательность моментов событий называется реализацией потока. Реализацию можно задать не только путём перечисления моментов событий, но и другими способами:

• указанием различных моментов событий и числа событий, происходящих в каждый из этих моментов;
• указанием последовательности длительностей интервалов времени между событиями;
• указанием длительности интервалов между различными моментами, когда происходят события, и числа событий в каждый из этих моментов;
• функцией X(t), равной числу событий в интервале (0,t).

Выбор способа задания реализации зависит от решаемой задачи.

Наибольшее теоретическое значение имеет рекуррентный поток однородных событий, определяемый свойством ограниченности последствия. Обобщением рекуррентного потока однородных событий является широко применяемый рекуррентный групповой поток однородных событий. В рекуррентном групповом потоке различные моменты событий образуют рекуррентный поток однородных событий. В каждый из этих моментов происходит независимое от других моментов число событий с заданным распределением вероятностей.

Ординарными потоками однородных событий называют потоки, в которых одновременное наступление двух или большего числа событий невозможно.

Стационарные потоки характеризуются тем, что многомерные функции распределения случайных векторов, компоненты которых — числа событий в заданных интервалах времени, не изменяются при одновременном сдвиге всех этих интервалов на интервал постоянной длины. Для стационарных потоков вводят понятие — интенсивность потока.

Существует связь между распределением числа событий стационарного потока в данном интервале времени и функциями Пальма — Хинчина, определяющими распределение числа событий в интервале, начинающемся в момент события потока. Для ординарных потоков однородных событий вероятность отсутствия событий в интервале длины T равна:

${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}\int \limits _{T}^{\infty }\left[1-F(t)\right]\,dt}$

где F(t) — функция распределения времени между двумя событиями; n — математическое ожидание этого времени.

• Теория массового обслуживания
• Пуассона поток
• Пальма поток