Поток средней кривизны

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Поток средней кривизны — определённый процесс деформации гиперповерхностей в римановом многообразии, в частности для поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве.

Поток деформирует поверхность в нормальном направлении со скоростью, равной её средней кривизне. Например, сфера под действием потока сжимается в точку.

Уравнение

Однопараметрическое семейство поверхностей является потоком средней кривизны, если

где и обозначают среднюю кривизну и единичный вектор нормали к поверхности в точке .

Свойства

  • Уравнение потока является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных.
    • В частности, это гарантирует существование решения для малых значений временного параметра.
  • Минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны.
  • Обычно поток средней кривизны формирует особенность за конечное время, начиная с которой поток перестаёт быть определён.
  • Формула монотонности Хуйскена[англ.]
  • Под действием потока замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве остаётся выпуклой. Более того, она схлопывается в точку за конечное время, и непосредственно до этого момента поверхность приближается к стандартной сфере с точностью до изменения масштаба.
    • В общем римановом многообразии выпуклость гиперповерхности не сохраняется в потоке, даже если дополнительно потребовать положительность секционной кривизны.

См. также

  • Укорачивающий поток — частный случай потока средней кривизны для кривых на плоскости.
  • Поток Риччи — близкая конструкция для деформации римановых многообразий.

Применения

  • Поток предоставляет естественную операцию сглаживания для гиперповерхностей. В частности, даёт аппроксимацию данной -гладкой гиперповерхности аналитическими.

Литература

  • Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, vol. 57, Boston, MA: Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, MR 2024995.
  • Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow, Progress in Mathematics, vol. 290, Basel: Birkhäuser/Springer, doi:10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, MR 2815949.
  • Lu, Conglin; Cao, Yan; Mumford, Davidd (2002), "Surface evolution under curvature flows", Journal of Visual Communication and Image Representation, 13 (1–2): 65—81, doi:10.1006/jvci.2001.0476. См., в частности, уравнения 3a и 3b.