Поток (математика)

Поток формализует идею движения частиц в жидкости. Потоки распространены повсеместно в науке, включая инженерию и физику. Понятие потока является базовым для изучения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек с течением времени. Более формально поток — это групповое действие вещественных чисел на множестве.

Идея векторного потока, то есть потока, определяемого векторным полем, встречается в областях дифференциальной топологии, римановой геометрии и групп Ли. Через поток обычно определяется производная Ли. Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток, гамильтонов поток, поток Риччи, поток средней кривизны, и потоки Аносова. Потоки также могут быть определены для систем случайных величин и случайных процессов, и встречаться при изучении эргодических динамических систем.

Поток на множестве X — это действие аддитивной группы вещественных чисел на X. Более явно поток — это отображение

${\displaystyle \varphi :X\times \mathbb {R} \to X}$

такое, что для всех x ∈ X и всех действительных чисел s и t,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}}$

Принято писать φ^t(x) вместо φ(x, t), так что приведённые выше уравнения можно выразить как ${\displaystyle \varphi ^{0}={\text{Id}}}$ (единичная функция) и ${\displaystyle \varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}}$ (групповой закон). Тогда для всех t ∈ ${\displaystyle R}$, отображение φ^t ${\displaystyle :X\to X}$ является биекцией с обратным φ^-t ${\displaystyle :X\to X}$. Это следует из приведённого выше определения, и действительный параметр t может быть принят как обобщенная функциональная мощность, как при итерации функции.

Обычно требуется, чтобы потоки были совместимы со структурами представленными на множестве X. В частности, если X имеет топологию, то обычно требуется, чтобы φ было непрерывным. Если X имеет дифференцируемую структуру, тогда требуется, чтобы φ было дифференцируемым. В этих случаях поток образует однопараметрическую группу гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.

В определённых ситуациях можно также рассмотреть локальный поток, который определён только в некотором подмножестве. Областью потока из φ называется

${\displaystyle \mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R} .}$

Это часто имеет место с потоками векторных полей.

Во многих областях, включая инженерию, физику и изучение дифференциальных уравнений, для потока очень распространено использование неявного обозначения. Таким образом, x(t) записывается как ${\displaystyle \varphi ^{t}(x_{0})}$, и можно сказать, что переменная x зависит от времени t и начального условия x = x₀. Примеры приведены ниже.

В случае потока векторного поля V на гладком многообразии X, поток часто обозначается таким образом, что его генератор становится явным. Например^[1],

${\displaystyle \Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).}$

Учитывая x в X, множество ${\displaystyle \{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}}$ называется орбитой x при φ. Неофициально его можно рассматривать как траекторию частицы, которая изначально была расположена в точке x. Если поток генерируется векторным полем, то его орбиты являются изображениями его интегральных кривых.

Пусть ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to X}$ — зависящая от времени траектория, являющаяся биективной функцией. Тогда поток может быть определён с помощью

${\displaystyle \varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).}$

Пусть ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ — независимое от времени векторное поле и ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ решение задачи при начальных условиях

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.}$

Тогда ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t)={\boldsymbol {x}}(t)}$ — это поток векторного поля F. Это чётко определённый локальный поток при условии, что векторное поле ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ является непрерывным по Липшицу. Тогда ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ также является непрерывным по Липшицу везде, где определено. В общем случае может быть трудно показать, что поток φ определён глобально, но один простой критерий заключается в том, что векторное поле F поддерживается на компакте.

В случае векторных полей ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$, зависящих от времени, обозначается ${\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})={\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),}$ где ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ — решение

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.}$

Тогда ${\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$ — это зависящий от времени поток F. Это не «поток» по приведённому выше определению, но его легко можно рассматривать как таковой, переставив его аргументы. А именно, отображение

${\displaystyle \varphi \colon (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})}$

действительно удовлетворяет групповому закону для последней переменной:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)&=\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})\\&=({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})\\&=\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).\end{aligned}}}$

Можно рассматривать зависящие от времени потоки векторных полей как частные случаи не зависящих от времени потоков с помощью следующего приема. Определить

${\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).}$

Тогда y(t) является решением задачи о «не зависящем от времени» начальном значении

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})}$

тогда и только тогда, когда x(t) является решением исходной задачи о начальных значениях, зависящих от времени. Кроме того, тогда отображение φ — это в точности поток «независимого от времени» векторного поля G.

Потоки не зависящих от времени векторных полей определяются на гладких многообразиях точно так же, как они определены в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и их локальное поведение такое же. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом в дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как «пространства параметров».

Формально: пусть ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ — дифференцируемое многообразие. ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}}$ обозначим касательное пространство точки ${\displaystyle p\in {\mathcal {M}}.}$ Пусть ${\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}}$ будет полным касательным многообразием, то есть ${\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}=\cup _{p\in {\mathcal {M}}}\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}.}$ Пусть $${\displaystyle f:\mathbb {R} \times {\mathcal {M}}\to \mathrm {T} {\mathcal {M}}}$$ — зависящее от времени векторное поле на ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$; то есть f является гладкой картой, такой, что для каждого ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle p\in {\mathcal {M}}}$, имеется ${\displaystyle f(t,p)\in \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}};}$, то есть карта ${\displaystyle x\mapsto f(t,x)}$ сопоставляет каждую точку элементу её собственного касательного пространства. Для подходящего интервала ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$, содержащего 0, поток f — это функция ${\displaystyle \phi :I\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}}$, которая удовлетворяет $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (0,x_{0})&=x_{0}&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=t_{0}}\phi (t,x_{0})&=f(t_{0},\phi (t_{0},x_{0}))&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}},t_{0}\in I\end{aligned}}}$$

• Уравнение Абеля
• Итерированная функция
• Уравнение Шредера

• Д.В. Аносов (2001), "Continuous flow", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Д.В. Аносов (2001), "Measureable flow", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Д.В. Аносов (2001), "Special flow", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4