Почти простая группа

Говорят, что группа почти проста, если она содержит неабелеву простую группу и содержится в группе автоморфизмов этой простой группы. В символьной записи группа A почти проста, если существует простая группа S, такая, что $S\leq A\leq \operatorname {Aut} (S)$ ^[1].

Примеры

Тривиально, неабелевы простые группы и полные группы автоморфизмов почти просты, но существуют примеры почти простых групп, не являющихся ни простыми, ни полными группами автоморфизмов.
Для $n=5$ или $n\geqslant 7$ симметрическая группа $S_{n}$ является группой автоморфизмов простой знакопеременной группы $A_{n},$ так что $S_{n}$ является почти простой в этом тривиальном смысле.
Для $n=6$ существует чистый пример, так как $S_{6}$ находится чисто между простой группой $A_{6}$ и $\operatorname {Aut} (A_{6}),$ вследствие исключительных внешних автоморфизмов^[англ.] группы $A_{6}$ . Две другие группы, группа Матьё $M_{10}$ и проективная полная линейная группа $\operatorname {PGL} _{2}(9)$ , также находятся чисто между $A_{6}$ и $\operatorname {Aut} (A_{6}).$

Свойства

Группа автоморфизмов неабелевой простой группы является полной группой (отображение смежных классов является изоморфизмом в группу автоморфизмов), но собственная подгруппа полной группы автоморфизмов не обязательно полна.

Структура

Согласно гипотезе Шрайера^[англ.], ныне повсеместно принятой как следствие классификации простых конечных групп, группа внешних автоморфизмов^[англ.] конечной простой группы является разрешимой группой^[2]. Таким образом, конечная простая группа является расширяемой разрешимой группы по простой группе.

См. также

Квазипростая группа^[англ.]
Полупростая группа

Литература

Вдовин Е. П. Картеровы подгруппы в конечных почти простых группах // Алгебра и логика. — 2007. — Т. 46, вып. 2. — С. 157–216.
Вдовин Е. П., Ревин Д. О. Теоремы силовского типа // УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК. — 2011. — Т. 66, вып. 5(401). — С. 3–46.

Ссылки

Almost simple group Архивная копия от 30 августа 2009 на Wayback Machine at the Group Properties wiki

Похожие исследовательские статьи

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений, применяемых в теории групп.

Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.

Прямое произведение групп — операция, которая по группам $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ строит новую группу, обычно обозначающуюся как $\text{[math]}$ . Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из основных примеров понятия прямого произведения.

Изоморфизм групп — взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции. Если существует изоморфизм между двумя группами, группы называются изоморфными. С точки зрения теории групп изоморфные группы имеют одни и те же свойства и их можно не различать.

Группа кос — группа, образованная для заданного $\text{[math]}$ всеми косами из $\text{[math]}$ нитей относительно операции произведения кос. Является центральным объектом изучения теории кос и обозначается символом $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Автоморфизм</span> изоморфизм математического объекта с самим собой

Автоморфизм — изоморфизм между математическим объектом и им самим; отображение, изменяющее объект с сохранением всех его изначальных свойств. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу автоморфизмов, которую можно рассматривать как обобщение группы симметрий объекта.

Совершенная группа ― группа $\text{[math]}$ , такая что отображение $\text{[math]}$ является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент $\text{[math]}$ в автоморфизм сопряжения $\text{[math]}$ . Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.

Редуктивная группа — алгебраическая группа $\text{[math]}$ , для которой унипотентный радикал её компоненты единицы $\text{[math]}$ является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.

Расширение группы — группа, содержащая заданную группу в качестве нормальной подгруппы. В задаче расширения как правило заданы нормальная подгруппа $\text{[math]}$ и факторгруппа $\text{[math]}$ , и ищется расширение $\text{[math]}$ такое, что $\text{[math]}$ , или, что эквивалентно, такая $\text{[math]}$ , что существует короткая точная последовательность:

\text{[math]}

Автоморфизм группы — биективный гомоморфизм группы на себя.

Основная теорема теории Галуа — теорема о расширениях полей определённого вида, ключевой результат теории Галуа.

Центр группы в теории групп — множество всех таких элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами:

\text{[math]}

В математике бинарная группа тетраэдра — это некоторая неабелева группа 24-го порядка. Группа является расширением тетраэдральной группы T 12-го порядка циклической группы 2-го порядка и является прообразом группы тетраэдра для 2:1 накрывающего гомоморфизма $\text{[math]}$ специальной ортогональной группы спинорной группой. Отсюда следует, что бинарная группа тетраэдра — дискретная подгруппа группы Spin(3) 24-го порядка.

Бинарная группа икосаэдра 2I или <2,3,5> — это неабелева группа порядка 120. Группа является расширением группы икосаэдра I или (2,3,5) порядка 60 циклической группой порядка 2 и является прообразом группы икосаэдра при 2:1 накрывающем гомоморфизме

\text{[math]}

В математике проективная специальная линейная группа PSL(2, 7) — это конечная простая группа, имеющая важные приложения в алгебре, геометрии и теории чисел. Она является группой автоморфизмов квартики Клейна, а также группой симметрии плоскости Фано. Имея 168 элементов, PSL(2, 7) является второй по величине из самых маленьких неабелевых простых групп.

Теорема Фейта — Томпсона или теорема о нечётном порядке утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Теорему доказали Вальтер Фейт и Джон Григгс Томпсон.

Теорема О'Нэна – Скотта — это одна из наиболее влиятельных теорем теории группы перестановок. Столь полезной эту теорему делает классификация простых конечных групп. В исходном виде теорема была о максимальных подгруппах симметрической группы. Она появилась как дополнение к статье Леонарда Скотта, написанной для конференции в Санта-Круз по конечным группам в 1979 со сноской, что Майкл О'Нэн независимо доказал тот же результат.

Теорема Шура — Зассенхауса — это теорема теории групп, которая утверждает, что если G является конечной группой, а N является нормальной подгруппой, порядок которой взаимно прост с порядком факторгруппы G/N, то G является полупрямым произведением подгруппы N и факторгруппы G/N.

Мультипликатор Шура является второй гомологией групп $\text{[math]}$ группы G. Его ввёл Исай Шур в работе по проективным представлениям.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.