Правильный треугольник

Правильный треугольник (равносторонний^[1], равноугольный) — треугольник, все стороны которого равны между собой, как следствие, все углы также равны и составляют 60°; дважды равнобедренный треугольник; правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Символ Шлефли — ${\displaystyle \{3\}}$.

В правильном треугольнике высоты также являются медианами и биссектрисами, их длина равна ${\displaystyle ({\sqrt {3}}/2)a}$, где ${\displaystyle a}$ — длина стороны.

Для правильного треугольника со стороной ${\displaystyle a}$, радиусом вписанной окружности ${\displaystyle r}$ и радиусом описанной окружности ${\displaystyle R}$ имеют место соотношения:

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$,

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a}$,

${\displaystyle R=2r}$;

а площадь ${\displaystyle S}$ и периметр ${\displaystyle P}$ рассчитываются по формулам:

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}=3{\sqrt {3}}r^{2}={\frac {\sqrt {3}}{36}}P^{2}}$,

${\displaystyle P=3a=3{\sqrt {3}}R=6{\sqrt {3}}r}$.

Теорема Вивиани: сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает со вписанной окружностью.

Правильными треугольниками можно замостить плоскость.

Группа движений (самосовмещений) плоскости, переводящих правильный треугольник в себя, состоит из 6 элементов: трёх поворотов на углы 0, ${\displaystyle 2\pi /3}$ и ${\displaystyle 4\pi /3}$ вокруг центроида, а также трёх симметрий относительно трёх прямых, на которых лежат биссектрисы треугольника (последние являются также его высотами и медианами).

На описанной окружности произвольного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ существуют ровно три точки такие, что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, причём эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея. Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний (теорема Наполеона).

Теорема Помпею: для произвольной точки ${\displaystyle M}$ и равностороннего треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ справедливы неравенства:

${\displaystyle MA\leqslant MB+MC}$, ${\displaystyle MB\leqslant MA+MC}$, ${\displaystyle MC\leqslant MA+MB}$,

при этом если ${\displaystyle M}$ расположена на описанной окружности, то неравенства обращатся в равенства.

Правильный сферический треугольник — сферический треугольник с равными сторонами. Для любого значения в интервале от 60° до 180° существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004.