Преобразование Гольштейна — Примакова

Преобразование Гольштейна — Примакова — переход от операторов спина к операторам рождения и уничтожения магнонов (являющихся бозонами^[1]). Было предложено Теодором Гольштейном (1915—1985, иногда фамилию пишут «Хольштейн») и Генри Примаковым (1914—1983)^[2] в оригинальной работе 1940 года^[3].

При изучении спиновых волн обычно переходят к циклическим комбинациям компонент спинов. Это выполняют следующим образом. Динамика магнитных моментов (или спинов) описывается уравнением Ландау — Лифшица. Предполагая, что ферромагнетик помещён в сильное магнитное поле напряжённостью ${\displaystyle H_{\mathrm {ext} }}$ вдоль оси z и находится вблизи состояния насыщения (то есть для компонент спина длиной S выполняются соотношения ${\displaystyle S_{z}\approx S}$, ${\displaystyle S_{x,y}\ll S}$) уравнение Ландау — Лифшица в приближении магнитной анизотропии для j-го спина принимает вид

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S_{j}^{x}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{i}^{y}-S_{j}^{y})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{y},}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S_{j}^{y}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{j}^{x}-S_{i}^{x})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{x},}$

где магнитная анизотропия включена в обменный интеграл ${\displaystyle J_{ji}}$, g — фактор Ланде, ${\displaystyle \mu _{B}}$ — магнетон Бора. Для изучения спиновых волн эти два уравнения записывают для операторов

${\displaystyle S_{j}^{\pm }=S_{j}^{x}\pm iS_{j}^{y},}$

в форме

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S_{j}^{\pm }}{\mathrm {d} t}}=\mp i\left(S\sum _{j}J_{ji}(S_{j}^{\pm }-S_{i}^{\pm })+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{\pm }\right),}$

где i — мнимая единица.^[4]

В таком случае преобразованием Гольштейна — Примакова (первым) называют замену

${\displaystyle S_{j}^{+}={\sqrt {2S}}\left(1-{\frac {1}{2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}\right)^{1/2}a_{j},\quad S_{j}^{-}={\sqrt {2S}}a_{j}^{\dagger }\left(1-{\frac {1}{2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}\right)^{1/2},}$

где ${\displaystyle a_{j}^{\dagger }}$ — оператор рождения спиновых возбуждений (квазичастиц), ${\displaystyle a_{j}}$ — оператор их уничтожения.^[2][5]

Данное преобразование справедливо при низких температурах, когда число квазичастиц можно считать малым. Требование диагонализации спинового гамильтониана показывает, что элементарными возбуждениями ферромагнетика должны являться спиновые волны (то есть коллективные возбуждения), а не отклонения спинов от равновесного состояния, локализированные на узлах решётки.^[6]

Иногда говорят о втором преобразовании Гольштейна — Примакова имея в виду переход к операторам рождения и уничтожения спиновых волн путём преобразования Фурье операторов для квазичастиц ${\displaystyle a_{j}}$ и ${\displaystyle a_{j}^{\dagger }}$ и их представления через волновые вектора ${\displaystyle \mathbf {k} }$:

${\displaystyle a_{\mathbf {k} }={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j}a_{j}e^{-i\mathbf {k} \mathbf {r} _{j}},\quad a_{\mathbf {k} }^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j}a_{j}^{\dagger }e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} _{j}}.}$

Новые операторы удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и «старые» и поэтому также могут рассматриваться как операторы рождения и уничтожения бозе-частиц, но которые уже являются коллективизированными. Спиновый гамильтониан, выраженный через них, диагонализуется, а сами операторы ${\displaystyle a_{\mathbf {k} }}$ и ${\displaystyle a_{\mathbf {k} }^{\dagger }}$ называют операторами уничтожения и рождения спиновых волн или магнонов.^[7]

• Вторичное квантование

• Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. — М.: Физматлит, 1994. — 464 с. — 2000 экз. — ISBN 5-02-014366-9.
• Давыдов А. С. Теория твердого тела. — М.: Наука, 1976. — С. 106—108. — 646 с.
• Х. Xакен. Квантовополевая теория твердого тела. — М.: Наука, 1980.
• T. Holstein, H. Primakoff. Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet // Phys. Rev. — 1940. — Т. 58, № 12. — С. 1098–1113. — doi:10.1103/PhysRev.58.1098.
• Kei Yosida. Theory of magnetism. — Springer, 1998. — Vol. 122. — P. 120—125. — 320 p. — (Springer series in solid-state sciences). — ISBN 9783540606512.
• Ulrich Rössler. Solid state theory: an introduction. — 2nd ed. — Springer, 2009. — 398 p. — ISBN 9783540927617.