Преобразование Мёбиуса

Преобразова́ние Мёбиуса — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$, представляющее собой композицию конечного числа инверсий относительно гиперсфер и отражений относительно гиперплоскостей^[1].

На комплексной плоскости преобразования Мёбиуса суть простейшие конформные преобразования, а в многомерных расширенных вещественных пространствах размерностей больше двух все конформные отображения мёбиусовы по теореме Лиувилля^[1].

В англоязычной литературе термин «преобразование Мёбиуса» часто определяют только для частного случая преобразования Мёбиуса, задаваемого двумя условиями:

• на расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$;
• как преобразование ${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}}$, задающееся при помощи дробно-линейной функции:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}},&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c}},&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0}$

Это определение может рассматриваться как частный случай общего для ${\displaystyle n=2}$, поскольку если расширенную комплексную плоскость ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ представить себе как ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{2}}}=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \}}$, то определения эквивалентны. В русскоязычной литературе для дробно-линейных функций комплексных чисел используют термин дробно-линейное преобразование.

Для случая ${\displaystyle n=1}$ одноточечная компактификация прямой представляет собой проективно расширенную числовую прямую. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций.

В случае ${\displaystyle n=1}$ пространство ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}},&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c}},&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0}$

В случае ${\displaystyle n=2}$ пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \}}$ можно рассматривать как расширенную комплексную плоскость. При таком рассмотрении частный случай преобразования Мёбиуса также называется дробно-линейным преобразованием и допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}},&x\neq \infty ,\\\displaystyle {\frac {a}{c}},&x=\infty ,\end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0}$

В пространстве размерности 2 преобразование Мёбиуса переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Легко проверяются следующие простые свойства:

1. Тождественное отображение ${\displaystyle f(z)=z}$ также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить ${\displaystyle a=d=1,\;b=c=0.}$
2. Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
3. Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

При умножении параметров ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {C} )}$, то есть имеет место эпиморфизм: ${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&&b\\c&&d\end{matrix}}\right)\to {\frac {az+b}{cz+d}}}$.

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца ${\displaystyle SO^{\uparrow }(1,\;3)}$.

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию ${\displaystyle ad-bc=1}$. Тогда, в зависимости от следа этой матрицы, равного ${\displaystyle a+d}$, можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

• эллиптические: ${\displaystyle |a+d|<2}$;
• параболические: ${\displaystyle a+d=\pm 2}$;
• гиперболические: ${\displaystyle |a+d|>2}$.

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение ${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ разложимо в суперпозицию четырёх функций:

${\displaystyle f(z)=f_{4}(f_{3}(f_{2}(f_{1}(z)))),}$

где

${\displaystyle {\begin{matrix}f_{1}(z)&=&z+{\dfrac {d}{c}},\\f_{2}(z)&=&{\dfrac {1}{z}},\\f_{3}(z)&=&-{\dfrac {ad-bc}{c^{2}}}z,\\f_{4}(z)&=&z+{\dfrac {a}{c}}.\end{matrix}}}$

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек ${\displaystyle z_{1},\;z_{2},\;z_{3}}$ существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки ${\displaystyle w_{1},\;w_{2},\;w_{3}}$. Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка ${\displaystyle w(z)}$ является образом точки ${\displaystyle z}$, то выполняется равенство

${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z)}{(z_{1}-z)(z_{2}-z_{3})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w(z))}{(w_{1}-w(z))(w_{2}-w_{3})}},}$

которое (при условии, что ${\displaystyle z_{i}\neq z_{j},w_{i}\neq w_{j}}$ при ${\displaystyle i\neq j}$) однозначно определяет искомое отображение ${\displaystyle w(z).}$

Преобразование Мёбиуса

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

является автоморфизмом единичного круга ${\displaystyle \Delta =\{z\in {\mathbb {C} }:\,|z|<1\}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a{\bar {b}}=c{\bar {d}}}$ и ${\displaystyle |a|=|d|>|c|}$.

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

${\displaystyle f(z)=e^{i\varphi }{\frac {z+\beta }{{\bar {\beta }}z+1}},\quad \beta \in \Delta ,\quad |e^{i\varphi }|=1.}$

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

${\displaystyle W(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{+}}$ в единичный круг ${\displaystyle \Delta }$.

Начиная с ${\displaystyle n=3}$ любое конформное отображение является преобразованием Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса имеют один из следующих видов:

• ${\displaystyle f(x)=b+A(x-a)}$
• ${\displaystyle f(x)=b+{\dfrac {A(x-a)}{|x-a|^{2}}}}$,

где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A}$ — ортогональная матрица.

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Крушкаль С. Л. Предисловие редактора перевода // Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. С. Л. Крушкаля. М.: Мир, 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [Ahlfors Lars V. Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
• Иванов А. Б. Круговое преобразование // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. С. 122.

• Moebius Transformations Revealed Архивная копия от 16 февраля 2011 на Wayback Machine на YouTube.
  • то же (с русскими субтитрами) Архивная копия от 22 июня 2015 на Wayback Machine.