Приведённая масса

Приведённая масса — условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной (например, электро-механической) системе, зависящая от физических параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и др.) и от её закона движения^[1].

Обычно приведенная масса ${\displaystyle \mu }$ определяется из равенства ${\displaystyle T=\mu v^{2}\,/2}$, где ${\displaystyle T}$ — кинетическая энергия системы, а ${\displaystyle v}$ — скорость той точки системы, к которой приводится масса. В более общем виде приведённая масса является коэффициентом инерции ${\displaystyle \mu _{ij}}$ в выражении кинетической энергии системы со стационарными связями, положение которой определяется ${\displaystyle n}$ обобщёнными координатами ${\displaystyle r_{i}}$:

${\displaystyle 2T=\sum _{i,\,j=1}^{n}\mu _{ij}\,{\dot {r_{i}}}{\dot {r_{j}}}\,,}$

где точка означает дифференцирование по времени, а ${\displaystyle \mu _{ij}\ }$ есть функции обобщённых координат.

В задаче двух тел, возникающей, например, в небесной механике или теории рассеяния, приведённая масса появляется как некая эффективная масса, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле. Рассмотрим два тела: одно с массой ${\displaystyle m_{1}\ }$ и другое с массой ${\displaystyle m_{2}\ }$. В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой, равной

${\displaystyle \mu ={1 \over {{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}}}={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\ ,}$

где сила, действующая на эту массу, дается силой, действующей между этими двумя телами. Видно, что приведённая масса равна половине среднего гармонического двух масс.

Приведённая масса всегда меньше каждой из масс ${\displaystyle m_{1}\ }$ или ${\displaystyle m_{2}\ }$ или равна нулю, если одна из масс равна нулю. Пусть масса ${\displaystyle m_{2}\ }$ значительно меньше массы ${\displaystyle m_{1}}$ (${\displaystyle m_{2}\ll m_{1}}$), тогда приближённое выражение для приведенной массы будет

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{2}}{1+m_{2}/m_{1}}}\approx m_{2}(1-{\frac {m_{2}}{m_{1}}})\approx m_{\mathrm {2} }\ .}$

Используя второй закон Ньютона, можно найти, что воздействие тела 2 на тело 1 задаётся силой

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.}$

Тело 1 оказывает влияние на тело 2 посредством силы

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.}$

В силу третьего закона Ньютона эти две силы равны и противоположны по направлению:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.}$

Таким образом, имеем

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}}$

или

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.}$

Тогда относительное ускорение между двумя телами будет даваться выражением

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left({1+{m_{1} \over m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\mathbf {F} _{12} \over \mu }.}$

Тогда можно заключить, что тело 1 двигается относительно положения тела 2 (и в поле силового воздействия тела 2) как тело с массой, равной приведённой массе ${\displaystyle \mu }$.

Задачу двух тел также можно описывать в лагранжевом подходе. Функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий. В данной задаче это

${\displaystyle L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ — радиус-вектор i-ой частицы с массой ${\displaystyle m_{i}}$. Потенциальная энергия зависит от расстояния между частицами. Определим вектор

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$,

и пусть центр масс задаёт систему отсчёта

${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}$.

Тогда вектора положений масс ${\displaystyle m_{i}}$ переопределяются как

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\,\,\mathbf {r} _{2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

Тогда новую функцию Лагранжа можно переписать в виде

${\displaystyle L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}$

откуда видно, что задача двух тел редуцировалась в задачу движения одного тела.

Приведенная масса может иметь отношение к более общим алгебраическим выражениям, которые задают взаимосвязь элементов системы и имеют вид

${\displaystyle \ {1 \over x_{\text{eq}}}=\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}\ ,}$

где ${\displaystyle x_{i}\ }$ — характеристика i-го элемента системы (например, сопротивление резистора в параллельной цепи), ${\displaystyle x_{eq}\ }$ — эквивалентная характеристика всей системы n элементов (например, полное сопротивление параллельного участка цепи). Такого рода выражения возникают во многих областях физики.

Понятие приведённой массы может встречаться в инженерных науках, например при расчётах конструкций на ударную нагрузку^[2].

• Приведённая масса на HyperPhysics Архивная копия от 16 декабря 2006 на Wayback Machine

• Задача двух тел