Признак Абеля

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости несобственного интеграла.

Признак Абеля для несобственного интеграла I-рода (для бесконечного промежутка). Пусть функции ${\displaystyle \ f(x)}$ и ${\displaystyle \ g(x)}$ определены на промежутке ${\displaystyle \ [a,\infty )}$. Тогда несобственный интеграл ${\displaystyle \ \int \limits _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx}$ сходится, если выполнены следующие условия:

1. Функция ${\displaystyle \ f(x)}$ интегрируема на ${\displaystyle \ [a,\infty )}$.
2. Функция ${\displaystyle \ g(x)}$ ограничена и монотонна.

Признак Абеля для несобственного интеграла II-рода (для функций с конечным числом разрывов). Пусть функции ${\displaystyle \ f(x)}$ и ${\displaystyle \ g(x)}$ определены на промежутке ${\displaystyle \ (a,b]}$. Тогда несобственный интеграл ${\displaystyle \ \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx}$ сходится если выполнены следующие условия:

1. Функция ${\displaystyle \ f(x)}$ интегрируема на ${\displaystyle \ (a,b]}$ т.е. сходится интеграл ${\displaystyle \ \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$
2. Функция ${\displaystyle \ g(x)}$ ограничена и монотонна на ${\displaystyle \ (a,b]}$.

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости числового ряда.

Числовой ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}{b_{n}}}$ сходится, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность ${\displaystyle \ a_{n}}$ монотонна и ограничена.
2. Числовой ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}}}$ сходится.

Признак Абеля дает достаточные условия равномерной сходимости функционального ряда. Функциональный ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{{a_{n}}(x)}{{u_{n}}(x)}}$,

где ${\displaystyle \ {a_{n}}(x):E\mapsto \mathbb {R} ,{u_{n}}(x):E\mapsto \mathbb {C} ,E\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$, сходится равномерно на множестве ${\displaystyle \ E}$, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций ${\displaystyle \ {a_{n}}(x)}$ равномерно ограничена на ${\displaystyle \ E}$ и монотонна для любых ${\displaystyle \ x}$ из ${\displaystyle \ E}$.
2. Функциональный ряд комплекснозначных функций ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{{u_{n}}(x)}}$ равномерно сходится на ${\displaystyle \ E}$.

• Признак Д’Аламбера
• Признак Дирихле
• Радикальный Признак Коши
• Интегральный признак Коши

• О.В.Бесов. Лекции по математическому анализу Ч. 1. — М.: МФТИ, 2004. — 327 с. Архивная копия от 23 мая 2006 на Wayback Machine c 253-254, c 277, c 290-291
• Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. — М.: Физматлит, 2005. — 400 с. c 316 — 318