Признак Бертрана

Перейти к навигации Перейти к поиску

Признак Бертрана (де Моргана — Бертрана) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1842 году Жозефом Бертраном^[1]. В своём выводе Бертран ссылается на труд Огастеса де Моргана «The Differential and Integral Calculus», изданный в 1839 году.

Формулировка

Если существует такое $\delta >0$ , что, начиная с некоторого номера $n$ , выполняется неравенство
$B_{n}=\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\geqslant 1+\delta ,$
то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится.
Если же $B_{n}\leqslant 1$ , начиная с некоторого $n$ , то ряд расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:
$B=\lim _{n\to \infty }B_{n}$
то при $B>1$ ряд сходится, а при $B<1$ — расходится.

Замечание. Если $B=1$ , то признак Бертрана не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Признак Бертрана чувствительнее признака Раабе и может быть использован для крайне медленно сходящихся рядов.

См. также

Признак Раабе

Примечания

↑ J. Bertrand. Règles sur la convergence des séries (фр.) // Journal de Math.. — 1842. — Vol. 7. — P. 35 - 54.

Литература

Бертрана признак — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

Weisstein, Eric W. Bertrand's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
http://vuz.exponenta.ru/PDF/raabe.html

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса Теорема Дини
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Предел функции</span> величина, к которой значение функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке

Преде́лом фу́нкции в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой значение рассматриваемой функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

При́знак д’Аламбе́ра — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на $\text{[math]}$ , последний часто может быть найден в явном виде.

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

\text{[math]}

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий.

Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком $\text{[math]}$ .
Функция $\text{[math]}$ является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Сходящийся ряд $\text{[math]}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\text{[math]}$ , иначе — сходящимся условно.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Признак Ди́ни — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из $\text{[math]}$ сходится к ней в смысле $\text{[math]}$ -нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно. Тем не менее при некоторых дополнительных условиях поточечная сходимость всё же имеет место.

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом и правосторо́нним преде́лом.

В математике для последовательности чисел $\text{[math]}$ бесконечное произведение

\text{[math]}

Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

\text{[math]}

Признак Раабе — признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный в 1832 году Йозефом Людвигом Раабе и независимо в 1839 году Жаном-Мари Дюамелем.

Формулы Фруллани относятся к нахождению несобственных интегралов Римана вида:

\text{[math]}

Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером.

Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Виктором Жамэ.

Логарифмический признак сходимости — признак сходимости числовых рядов с положительными членами.

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

При́знаки сходи́мости числового ряда — методы, позволяющие установить сходимость или расходимость бесконечного ряда $\text{[math]}$

Признак Шлёмильха — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Оскаром Шлёмильхом.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.