Признак Дедекинда

Признак Дедекинда — признак сходимости числовых рядов вида ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ (в общем случае ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ — комплексные). Установлен Юлиусом Дедекиндом.

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\ (a_{n},b_{n}\in \mathbb {C} )}$ сходится, если:

• ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a_{n+1})}$ абсолютно сходится;
• ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$;
• частичные суммы ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ограничены.

Произведение ${\displaystyle f(x)g(x)}$ (${\displaystyle f,g}$ непрерывны на ${\displaystyle (a,b]}$ и ${\displaystyle f,g:[a,b]=I\rightarrow \mathbb {R} }$) интегрируемо на ${\displaystyle I}$, если:

• ${\displaystyle F(x)=\int _{x}^{b}f(s)ds,a<x\leqslant b}$ ограничен на ${\displaystyle (a,b]}$;
• ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ абсолютно интегрируема на ${\displaystyle I}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a+0}g(x)=0}$.

• Математическая энциклопедия, Т.2, «И. М. Виноградов. Дедекинда признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.»
• Charles Swartz Introduction to gauge integrals